4. Поведение в нуле.
Здесь мы укажем другое применение индексации вершин графа. Будет указана связь порядка нуля решения в окрестности точки 
с индексом вершин графа.
Будем предполагать, что 
и что 
имеют непрерывные частные производные до порядка 
где 
наибольший конечный индекс 
-вершин. По-прежнему, предполагается, что 
есть множество вершин, в которых начальные условия (1.1) положительны.
Теорема 1. Пусть выполнено условие 
достижимая из 
вершина с индексом 
решение задачи (1.2.1), (1.1). Тогда
где 
непрерывная функция.
Доказательство. Если 
то (4.1) очевидно. Пусть 
Требуется доказать, что все производные 
до порядка 
обращаются в нуль при 
т. е.
Отсюда, очевидно, следует (4.1).
Будем проводить индукцию по 
При 
очевидно, так как 
при 
Пусть (4.2) имеет место при 
для всех 
таких, что Докажем его при 
Пусть 
Тогда все 
-вершины, непосредственно предшествующие 
имеют индексы не меньшие, чем 
Таким образом, в равенстве
все те 
для которых 
являются номерами 
-вершин с индексом не меньшим, чем 
Любая такая 
-всршина 
имеет среди непосредственно предшествующих 
-вершин хотя бы одну вершину 
с индексом не меньшим, чем 
Так что по условию 1
Если 
то 
и поэтому 
Таким образом, (4.3) можно записать в виде
По предположению индукции 
при 
Отсюда и из (4.4) следует, что 
при 
Теорема доказана.
Заметим, что равенство (4.1) формально имеет место при малых 
и для недостижимых вершин 
как было условлено). В равенстве (4.1) не исключается возможность 
так что порядок нуля 
вообще говоря, может быть ботьше, чем 
Однако для линейных по и функций 
оказывается точным порядком нуля 
Теорема 2. Если 
-линейные функции и выполняются условия 1 и 2, то компонента 
решения задачи (1.2.1), (1.1) для достижимой вершины 
имеет порядок нуля, равный ее индексу 
Доказательство. Требуется доказать, что 
в (4.1). Из условия 1 и линейности по и следует, что 
Из условия 2 вытекает 
при 
Уравнение 
принимает вид
где штрих обозначает суммирование только по тем 
для которых 
Неравенство 
докажем индукцией по 
При 
оно очевидно. Пусть оно уже доказано для всех вершин 
с индексом 
Покажем для 
По теореме 
причем 
и хотя бы для одного 
По предположению индукции для этого 
Все слагаемые справа в (4.5), для которых имеет место (4.6), входят с одинаковым знаком. Поэтому (4.5) можно записать в виде
причем 
Отсюда следует, что 
Теорема доказана.
