Глава II. МЕРА И ИНТЕГРАЛ

§ 1. МЕРА

1. Аддитивные функции множества.

В геометрии и физике мы часто встречаемся с функциями, определенными на множествах. Например, длина отрезка, площадь фигуры, объем и масса тела и т. д. Такие функции мы будем называть функциями множества.

Дадим точное определение. Пусть заданы некоторое множество и некоторое множество А его подмножеств. В соответствии с общим определением функции (см. п. 1.1.4) мы будем говорить, что на множестве А задана (вещественная) функция если каждому элементу X множества А поставлено в соответствие вещественное число Так как элементами множества А являются множества X, то является функцией множества.

Например, пусть 5 есть вещественная ось, А — множество всевозможных интервалов где произвольные вещественные числа, Функция а есть пример функции множества, заданной на А.

Для дальнейшего удобней более общий подход: мы будем рассматривать функции множеств со значениями в некотором банаховом пространстве В. Это значит, что каждому множеству поставлен в соответствие элемент пространства В.

Функции множества, о которых шла речь в приведенных выше примерах, обладают свойством аддитивности: при сложении непересекающихся множеств они складываются. Например, объем и масса тела есть сумма объемов и масс его частей.

Точное определение состоит в следующем.

Определение 1. Пусть заданы множество и некоторое множество А его подмножеств. Функция определенная на А, со значениями в банаховом пространстве В называется аддитивной, если для каждой пары непересекающихся множеств объединение которых принадлежит А.

Мы всегда будем предполагать, что пустое множество принадлежит А и что где нуль пространства В.

Обычно бывает также удобным предполагать, что семейство множеств, на которых определена аддитивная функция содержит объединения и разности входящих в него множеств, т. е. что функция определена на алгебре множеств.

Определение 2. Алгеброй подмножеств данного множества называется множество А подмножеств этого множества, удовлетворяющее следующим условиям:

1) А содержит пустое множество 0;

2) если X принадлежит А, то его дополнение также принадлежит

3) если принадлежат А, то их объединение также принадлежит А.

Пример. Будем через обозначать интервалы (полуоткрытые), т. е. множества вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству Возьмем в качестве интервал [0, 1), а в качестве подмножеств объединения конечного числа интервалов принадлежащих Легко проверить, что такое семейство А подмножеств X образует алгебру. Далее, если X представлено в виде конечной суммы непересекающихся интервалов, то функция равная сумме длин этих интервалов, есть аддитивная функция, определенная на А

Рассмотрим вопрос о том, какие действия над множествами, входящими в алгебру А, не выводят из этой алгебры. Прежде всего, ясно, что вместе с каждой конечной системой множеств в алгебру входит их объединение Далее, равенства

следует, что вместе с каждой конечной системой множеств в алгебре содержится их пересечение. Наконец, если элементы алгебры А, то разность множеств также является элементом этой алгебры, так как