§ 3. СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

1. Сопряженный оператор.

Пусть заданы два гильбертова пространства и линейный ограниченный оператор А, действующий из пространства X в пространство и определенный на всем пространстве

Определение. Оператор А, действующий из пространства в пространство X и определенный на всем пространстве У, называется сопряженным к оператору А, если для всех элементов имеет место равенство

Здесь скалярные произведения в пространствах соответственно.

Мы докажем сейчас, что такой оператор существует.

Теорема. Для любого линейного ограниченного оператора А, действующего из пространства X в пространство существует сопряженный оператор А, который является линейным и ограниченным и его норма совпадает с нормой оператора А:

Сопряженный оператор А определяется по оператору А однозначно.

Доказательство. Рассмотрим функционал в пространстве:

где у — заданный элемент пространства У. Очевидно, есть линейный функционал. Действительно, для

Аддитивность функционала доказана. Аналогично доказывается однородность.

Из оценки

следует ограниченность функционала

По теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве мы можем утверждать, что существует такой элемент X, что

Мы видим, что каждому элементу поставлен в соответствие элемент . В силу общего определения оператора это значит, что всем пространстве определен оператор со значениями в пространстве Этот оператор обозначим через А, так что по определению Подставляя в (1.4), получим (1.1). Итак, существование сопряженного оператора доказано.

Докажем его единственность. Пусть В — оператор, действующий из пространства в пространство X, такой, что

для всех Тогда из (1.1) и (1.5) следует

для всех . В частности, полагая здесь получаем следовательно,

Так как это равенство доказано для произвольного элемента у пространства то операторы равны между собой. Единственность сопряженного оператора доказана.

Докажем, что оператор А линейный. Именно, запишем равенство (1.1) для где заданные элементы пространства и сложим эти равенства. Получим

Запишем, далее, равенство (11) для элемента

Сравнивая это с (1 6) и учитывая, что эти равенства верны при всех заключаем, что

Аддитивность оператора А доказана. Точно так же доказывается однородность.

Докажем ограниченность оператора А. Для этого подставим в равенство Получим

Следовательно,

Это и значит, что оператор А ограничен. При этом мы получили также оценку Если мы подставим в равенство (1.1) то вполне аналогично получим оценку Таким образом, равенство (1.2) доказано. На этом завершается доказательство теоремы.