6. Критерий положительной определенности функционалов.

В п. 2.8 было дано определение положительно-определенных функционалов в пространстве Там же было указано одно явное условие положительной определенности для функционалов заданных равенством (2.1.3). Мы укажем здесь другой критерий, основанный на экстремальном свойстве первого собственного значения задачи А.

Назовем симметричной частью функционала функционал

Рассмотрим функционал (2.1.3)

Мы сохраним те же предположения относительно множества и коэффициентов которые были сделаны в п. 2.2. Дополнительно потребуем, чтобы функции имели ограниченные первые производные. Тогда интегрированием по частям легко получить явный вид функционала (6.1) на функциях Именно,

где обозначено

Рассмотрим задачу о собственных значениях, связанную с функционалом (6.3):

Мы будем предполагать, что эта задача является сильнозллиптической (п. 2.3).

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы функционал (6.2) был положительно-определенным в пространстве необходимо и достаточно, чтобы первое собственное значение задачи (6.6), (6.7) было положительным.

Доказательство. Так как то по теореме 1 п. 3 для первого собственного значения А, задачи (6.6), (6.7) имеет место равенство

Если то положительная определенность функционала (6.2), очевидно, следует из (6.8). Обратно, если функционал (6.2) положительно-определенный, то из (6.8) получаем 0. Но К не может быть равным нулю, так как тогда для первой собственной функции будет иметь место равенство которое противоречит положительной определенности функционала (6.2). Теорема доказана.