§ 4. ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

1. Метод осреднения.

На примере параболического уравнения вида

с граничными условиями

мы изложим здесь один метод приближенного решения уравнений, состоящий в осреднении определенным способом по пространственным переменным (или по части таких переменных).

По-прежнему область считается ограниченной открытой областью с конечным периметром. Кроме того, будем считать, что область связана, а ее граница регулярна (см. п. V.3.7). Через по-прежнему обозначается оператор (1.1.5) и предполагается условие (1.1.3).

Рассмотрим первое собственное значение и его собственную функцию краевой задачи (1.2) для уравнения

и пронормируем так, чтобы

Тогда формула

определяет среднее значение функции

В интегральном тождестве (VII 1.3.1.6) для обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) можно взять Тогда с учетом обозначения (1.5) и по определению собственной функции

и в силу произвольности пределов интегрирования и имеем

Замечание. В случае гладких функций равенство (1,6) получает почленным осреднением по формуле (1.5) равенства (1.1), так как по формуле Грина

Разлагая по формуле Тэйлора в окрестности

полагая и осредняя по формуле (1.5), получим

с погрешностью порядка В том случае, когда этой погрешностью можно пренебречь, из (1.6) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению (знак осреднения опускаем)

Надо отметить, что соотношение (1.7) точно выполняется лишь для линейной функции с постоянными коэффициентами. В этом случае есть по существу первый коэффициент разложения в ряд Фурье по системе собственных функций задачи (1.2), (1.3). Для нелинейной функции предположение (1.7) нуждается в обосновании. Мы покажем, что в случае третьей краевой задачи, когда вместо (1.2) на всей границе 5 задано

при и одновременном изменении X таким образом, что соотношение (1.7) переходит в точное равенство. Здесь -первое собственное значение задачи (1.3), (1.9). Через обозначим соответствующую собственную функцию с нормировкой (1.4), через решение задачи (1.1), (1.9) при наконец, положим

Теорема. Каково бы ни было при существует

где - решение задачи (1.8). Соотношение (1.11) имеет место при во всей области определения функции

Доказательство проведем для простоты в случае постоянной начальной функции Тогда при любом Согласно следствию существует интервал в котором определено и равномерно по ограничено обобщенное решение задачи (1.1), (1.9). Пусть таково что и ограничено равномерно по ее ( при и фиксированном Тогда ограничены следовательно, которую можно рассматривать как обобщенное решение краевой задачи (1.9) для линейного уравнения

(см. следствия п. VIII.2.2).

Итак, в цилиндрической области имеем:

Далее, из интегрального тождества для

(см. (1.1.3)) при с учетом и условия параболичности вытекает

Ввиду ограниченности последнего интеграла (даже при и стремления к нулю величины при отсюда заключаем, что

Следовательно, интеграл (1.13) ограничен равномерно по при Вместе с (1.12) это означает ограниченность нормы в

Последнее означает, что семейство функций компактно в Пусть — предел в некоторой последовательности при Для этой последовательности имеет место (1.13) и, следовательно, (не зависит от ). Кроме того, ввиду ограничена: не ограничивая общности, можно считать, что сходимость имеет место почти всюду в так что почти всюду

Далее, по неравенству Коши — Буняковского

так что при почти всех

и аналогично

Для выполняется (1.6), т. е.

Ограниченная сходимость (1.14), (1.15) позволяет в равенстве (1.16) выполнить предельный переход под знаком интеграла. Получим

Отсюда следует, что является непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей условию и уравнению (1.8). Единственность решения (1.8) означает, что на самом деле все семейство функций значит, сходится к при причем, очевидно, равномерно по По теореме о непрерывной зависимости от параметра для обыкновенных уравнений предельное соотношение (1.11) имеет место во всей области существования Теорема доказана.

Смысл доказанной теоремы состоит в том, что приближенное равенство (1.7) оказывается точным асимптотическим равенством в случае третьей краевой задачи при малых а задача (1.8) — предельным случаем (при задачи (1.1), (1.9). Можно надеяться, однако, что уравнение (1.8) сохраняет смысл приближенного уравнения, заменяющего краевую задачу для уравнения (1.1) в широком классе граничных условий вида (1.2).

Мы будем называть уравнение (1.8) осредненным уравнением, соответствующим задаче (1.1), (1.2), если первое собственное значение задачи (1.2), (1.3).

Следующее замечание позволяет расширить круг уравнений и систем уравнений, к которым можно применить аналогичное осреднение. Пусть имеем суперпозицию функции их средние в некотором смысле. По формуле Тэйлора

Осредняя тем же способом, что и имеем и с погрешностью порядка