7. Действия над операторами.

1. Сложение. Как и вообще для функций сложение операторов определяется следующим фразой. два ограниченных линейных оператора, дейтвующих из пространства X в пространство и определенных на Тогда если для всех оператора С легко проверяется. Из неравенства

следует, что — ограниченный оператор и

2. Умножение на число. Пусть А обозначает то же, что и выше, I — число. Тогда по определению

Очевидно, а А - линейный оператор.

Далее, из (7.2)

Откуда следует, что ограниченный оператор, причем

Пользуясь этим неравенством, можно записать при

откуда

Поэтому на основании неравенства (7.3)

ясно, что это равенство справедливо также при

3. Умножение операторов. Пусть заданы три нормированных пространсгва и линейные ограниченные операторы действующие

из и из соответственно. Предполагается, что областями определений операторов являются пространства соответственно.

Определим оператор следующим равенством:

для всех Тогда С есть оператор, действующий из Его линейность легко проверяется. Ограниченность получается из оценки

Из этой оценки получаем также

Предоставим читателю проверить, что справедлив ассоциативный закон умножения операторов:

Пусть натуральное число, А — ограниченный оператор, действующий в пространстве X и определенный на всем этом пространстве. Степень оператора А определяется по индукции: Пользуясь ассоциативным законом умножения операторов, легко проверить, что для любых натуральных чисел тип имеет место равенство

4. Обратный оператор. Оператор действующий в банаховом пространстве X, называется единичным, если имеет место равенство для всех элементов

Пусть задан линейный ограниченный оператор действующий из банахова пространства X в банахово пространство и определенный на всем пространстве Линейный оператор В, определенный на всем пространстве и действующий из называется обратным к оператору если имеют место равенства:

Заметим, что в (7.6) I есть единичный оператор в пространстве У, а в (7.7) — в пространстве

Оператор, обратный к оператору обозначается

Вопрос о существовании обратного оператора связан с разрешимостью уравнения

Если существует обратный оператор то уравнение (7.8) имеет решение

Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить (7.9) в (7.8). Это решение является единственным, так как если бы существовало два решения уравнения (7.8): то, обозначая получили бы откуда так что

Можно доказать и обратное утверждение: если уравнение (7.8) однозначно разрешимо при любом то существует обратный оператор Действительно, каждому ставится в соответствие элемент -решение уравнения (7.8). Следовательно, определен В:

так, что для всех элементов у пространства У. Следовательно, имеет место равенство (7.6). Далее, если произвольный

элемент пространства X, то, обозначив получим, что Потому , что и доказывает равенство (7.7). Линейность оператора В легко проверяется. Действительно, пусть огда и поэтому ткуда следует аддитивность оператора В. Так же доказывается его днородность. Итак, мы доказали существование обратного оператора условии однозначной разрешимости уравнения (7.8).

При определении обратного оператора мы не требовали его ограниченности. И, действительно, этого заранее требовать и не нужно, как имеет место следующая теорема (см., например, [25]).

Теорема Банаха. Если линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство и пределенный на всем X, имеет обратный, определенный на всем пространстве У, то этот обратный оператор ограничен.