Глава V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

§ 1. ФОРМУЛА ГРИНА

В этом параграфе будут рассмотрены важные формулы анализа — формулы Грина, связывающие интеграл от градиента функции но некоторому множеству с интегралом от функции по границе, этого множества.

1. Градиент характеристической функции множества.

Пусть множество с конечным периметром (см. п. IV.2.1), - его характеристическая функция. Как и в мы будем рассматривать обобщенный градиент

меру со значением в пространстве

Рассмотрим вопрос о том, где сосредоточена мера Это нужно понимать следующим образом: борелевская мера сосредоточена на множестве А, если на любом борелевском множестве, не имеющем общих точек с множеством А, эта мера равна нулю.

Теорема 1. Пусть множество с конечным периметром, его характеристическая функция. Тогда мера VX сосредоточена на существенной границе множества

Доказательство. Продифференцируем равенство пользуясь формулой дифференцирования произведения получим

Отсюда

Пусть А — множество тех точек х пространства для которых

Из (1.3) следует, что мера сосредоточена на множестве А. Действительно, пусть В — произвольное борелевское множество, не имеющее общих точек с множеством А. Взяв полную вариацию меры, стоящей в левой части равенства (1.3), получим

где полная вариация меры Так как функция не обращается в нуль ни в одной точке множества В, то равенство (1.4) может иметь место только в том случае, когда Итак, мы показали, что мера VX сосредоточена на множестве А.

Для полного доказательства теоремы достаточно проверить, что множество А принадлежит существенной границе множества (определение существенной границы дано в Но это очевидно, так как в силу определения существенной границы в каждой точке х, не принадлежащей ей, имеет место либо равенство либо равенство Теорема доказана.

Имеет место также следующая теорема [70, 67].

Теорема 2. Пусть множество с конечным периметром, его характеристическая функция. Пусть, далее, В — произвольное борелевское множество, принадлежащее существенной границе множества

Тогда имеет место равенство

где внутренняя нормаль.

Пример, объясняющий эту формулу, был приведен в (см. равенство (IV.2.4.6)).

Следствие. Если есть множество с конечным периметром, то его периметр равен -мерной мере Хаусдорфа его существенной границы

Доказательство. По определению (см. периметр множества есть полная вариация меры Взяв полную вариацию мер, стоящих в левой и правой частях (1.5), и учитывая теорему 1, получим (1.6).