3. Интегральные формулы.

Используя функцию (2.6), получим общую формулу, дающую выражение произвольной функции из пространства через ее производные. Эта формула будет применена в дальнейшем для изучения уравнения Пуассона. Однако нужно заметить, что в действительности область ее применений значительно шире. Предварительно докажем лемму.

Лемма. Пусть существует сферическое среднее функции в точке т. е. существует предел

где — сфера внешний след функции на Тогда в точке существует шаровое среднее

где есть шар его объем, и оба эти средние значения совпадают:

Доказательство. Из того, что отличается от только в точках скачка функции (см. п. V.1.2), следует, что почти всюду. Поэтому

где обозначено

По условию леммы при Поэтому для любого числа можно выбрать такое число что при Следовательно, для любого числа из (3.4) получаем

так как Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть функция, заданная в финитная и принадлежащая пространству Тогда почти при всех (по n-мерной мере) существует интеграл (3.5) и имеет место равенство

где функция (2.6).

Доказательство. Покажем сначала, что интеграл (3.5) существует почти при всех

Так как финитная функция, то интегрирование в (3.5) производится по шару где в качестве можно взять любое число, большее некоторого числа Рассмотрим меру

Обозначим через -мерную меру Лебега Пусть произведение мер, рассматриваемое на произведении

Функция измерима по мере Действительно, она может быть представлена как предел последовательности непрерывных функций, сходящейся всюду, кроме множества Учитывая, что

мы можем такую последовательность задать, например, в виде

Но множество имеет -меру нуль, так как

характеристическая функция множества Таким образом, доказано, что функция измерима по мере

Покажем, что эта функция суммируема по мере Действительно, при

где некоторая константа. Отсюда

Следовательно, фуикция - суммируема по мере

Из теоремы Фубини (см. п. II 3.7) следует, интеграл (3 5) существует при почти всех а так как произвольное число, то интеграл (3 5) существует почти при всех

Пусть произвольная точка, в которой существует интеграл (3.5). Обозначим этот интеграл через Пусть, далее,

Очевидно,

Интегрирование частям дает следующее равенство:

где — сфера — внешний след функции на ней; внешняя нормаль При выводе равенства (3.9) мы учли, что

Обозначая будем иметь

Последнее записано с учетом того, что Подставим (3.10) в (3.9). Получим

Так как предел при существует и имеет место равенство (3.8), то на основании леммы

Но почти всюду. Отсюда и из (3.11) получаем, что равенство (3.5) имеет место почти всюду в Теорема доказана.

Заметим, что доказано даже несколько больше, чем сформулировано в теореме. Именно, если проследить за тем, как получено равенство (3.11), то станет ясным, что доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда в каждой точке в которой существует интеграл (3.5), существует также шаровое среднее значение функции и имеет место равенство

Равенство (3.12) можно записать в другом, более явном виде следующим образом. Введем обобщенный градиент функции т. е. вектор

где обобщенные производные. Тогда, пользуясь равенством (3.6), мы можем записать (3.12) в виде

Мы обратим внимание на то, что класс функций и, для которых выведена формула (3.13), содержит и разрывные функции. Пусть борелевское множество, принадлежащее множеству точек скачка функции Рассмотрим, какой вид принимает интеграл (3.13), взятый по множеству Пользуясь результатами, приведенными в мы можем записать

Здесь скачок функции Направление нормали к 5 согласовано с так, как это указано в

Интеграл, стоящий в правой части равенства (3.14), называется потенциалом двойного слоя. Таким образом, мы видим, что интеграл (3.13) (или на множествах, принадлежащих множеству скачков функции превращается в потенциал двойного слоя. Если на множестве записать интеграл в виде (3.5), то потенциал двойного слоя примет вид

Пример. Пусть ограниченное множество с конечным периметром, его существенная граница. Рассмотрим интеграл

где внутренняя нормаль к 5. Пусть в точке этот интеграл существует. Тогда оказывается, что

если есть точка плотности множества и

если есть точка разрежения этого множества. Чтобы в этом убедиться, достаточно применить формулу (3.13) к функции являющейся характеристической функцией множества

В частности, если открытое множество, а его граница является существенной, то равенство (3 17) имеет место в каждой точке множества а в каждой точке дополнения к множеству

Простым следствием формулы (3.12) является утверждение, что функция задаваемая равенством (2.6), является фундаментальным решением уравнения Лапласа. Действительно, для гладкой финитной функции равенство (2.1) сразу следует из (3.12), если перебросить дифференцирование с на и.

В теоремах 1 и 2 мы предполагаем функцию финитной. Это не является существенным ограничением, во всяком случае, если мы изучаем функции на ограниченных множествах и если, продолжив функцию нулем вне мы получим функцию из пространства . В частности, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть ограниченное открытое множество с конечным периметром, его существенная граница. Пусть, далее, функция, заданная на множестве и обладающая тем свойством, что, будучи продолжена нулем вне она принадлежит пространству Тогда для почти всех имеет место равенство

где внешняя нормаль к внутренний след функции на причем интегралы, входящие в (3.19), существуют при почти всех

В каждой точке в которой существуют эти интегралы, существует шаровое среднее функции , и имеет место равенство

Доказательство. Все эти утверждения следуют из теорем 1 и 2, примененных к функции где характеристическая функция множества