3. Сопряженное пространство.

Для линейных функционалов так же, как и вообще для операторов, определены действия сложения и умножения на числа, причем в результате этих действий мы снова получаем линейный функционал (см. п. 1.7). Легко проверяется, что при этом выполняются все аксиомы линейного пространства.

Далее, если ввести норму равенством (1.1), то с так введенной нормой пространство линейных функционалов является нормированным

пространством. Это доказывается так же, как и в п. 1.4.10. Аналогично тому, как это сделано в п. 1.4.10, доказывается, что это пространство является полным. Таким образом, множество всех линейных функционалов, определенных на банаховом пространстве X, образует полное нормированное пространство, которое называется сопряженным к пространству X и обозначается

Часто для приложений бывает важным построение сопряженных пространств для некоторых конкретных банаховых пространств. Для этого необходимо находить общий вид линейных функционалов, определенных на этом пространстве. Так, например, как показано в примере 2 п. 2, общий вид линейных функционалов на пространстве задается равенством (2.5), им устанавливается взаимно-однозначное соответствие между линейными функционалами и элементами пространства Это значит, что каждому линейному функционалу заданному на пространстве соответствует один и только один элемент у пространства такой, что имеет место равенство (2.5). При таком соответствии, как это легко проверить, сумме функционалов соответствует сумма элементов пространства и произведению функционала на число соответствует произведение элемента у на это же число.

Такое взаимно-однозначное соответствие между элементами линейных пространств, при котором сохраняются линейные операции (сложение и умножение на число), называется изоморфизмом. Если пространства нормированные и при указанном соответствии сохраняется норма (т. е. нормы соответствующих элементов равны между собой), то такой изоморфизм называется изометрическим. В рассмотренном примере, как видно из равенства (2.8), пространство линейных функционалов, заданных на пространстве изометрически изоморфно пространству Часто в теории линейных нормированных пространств не различают изометрически-изоморфные пространства. В этом смысле иногда просто говорят, что пространство, сопряженное к есть пространство имея при этом в виду изометрический изоморфизм этих пространств.