4. Пространство, порожденное задачей А.

Пусть задача А является сильноэллиптической (определение дано в предыдущем пункте). Тогда на функциях принадлежащих пространству можно ввести скалярное произведение следующим образом:

где есть функционал (3.1) и — скалярное произведение в пространстве есть константа, входящая в определение (3.2) сильной эллиптичности. Напомним, что пространство определено в п. 2.

Ясно, что все свойства скалярного произведения выполняются. В частности, из неравенства

которое является следствием неравенства (3.2), мы заключаем, что и равенство нулю возможно лишь при

Таким образом, мы получаем евклидово пространство, которое естественно назвать пространством, порожденным задачей А, так как скалярное произведение в нем определяется с помощью функционала Это пространство будем обозначать Ел- Итак, мы даем следующее определение.

Определение. есть пространство функций и, принадлежащих пространству и удовлетворяющих условию

со скалярным произведением (4.1).

Норму в пространстве будем обозначать так что

Обратим внимание на то, что оба пространства состоят из одних и тех же функций, но только в них введены различные скалярные произведения. Кроме того, легко понять, что есть также пространство типа Именно, если в качестве задачи А взята задача для уравнения Лапласа и то соответствующее пространство совпадает с пространством

Легко понять, почему рассматриваются два пространства: Пространство Е связано, как это было сейчас объяснено, с простейшей граничной задачей. Поэтому свойства этого пространства легче изучить, чем свойства пространства связанного с более сложной задачей А. С другой стороны, изучение задачи А естественно проводить с помощью пространства наиболее близкого по своей природе к этой задаче. Остается только заметить, что имеет место следующая теорема.

Теорема. Нормы в пространствах эквивалентны, т. е. существуют две положительные константы такие, что

(Здесь обозначает норму в пространстве которая совпадает с нормой в пространстве (см.

Доказательство. Второе из неравенства (4.4) непосредственно следует из (4.2).

Чтобы получить первое из этих неравенств, мы заметим, что из (3.1) в силу ограниченности функций следует оценка

где С — некоторая константа. Но из (4.1) следует, что

так что

Но мы видели (п. V. 3.5), что

где некоторая константа. Отсюда и из (4.5) получаем первое неравенство (4.4). Теорема доказана.

Эта теорема дает возможность делать выводы о свойствах пространства если известны соответствующие свойства пространства

Следствие 1. Пространство является полным и, следовательно, гильбертовым пространством.

Доказательство непосредственно следует из теоремы и полноты пространства Проведем его.

Пусть фундаментальная последовательность в пространстве

Тогда на основании (4.4)

Следовательно, фундаментальная последовательность в Ввиду полноты пространства существует элемент такой, что На основании (4.4)

Таким образом, последовательность сходится в пространстве Полнота пространства Доказана.

Следствие 2. Оператор I вложения пространства в пространство вполне непрерывен.

Доказательство. Пусть -ограниченная последовательность в пространстве На основании (4.4) эта последовательность ограничена также в пространстве следовательно, в пространстве Поэтому (см. п. V.3.6) существует подпоследовательность, сходящаяся в Это и значит, что оператор I вполне непрерывен.