Глава VII. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Этот параграф носит вводный характер. Его целью является объяснить основные понятия: эллиптическое уравнение, граничная задача, сопряженная задача и т. д. В связи с этим мы не будем в нем указывать условия гладкости, которые необходимо налагать на коэффициенты уравнений, границы областей и на решения. Все это будет точно указано в следующем параграфе. Здесь же мы будем считать, что все функции, которые будут встречаться, являются достаточно гладкими, т. е. имеют все непрерывные производные нужного порядка.

1. Эллиптические уравнения.

Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными образуют важнейший класс уравнений математической физики. Простейшим и важнейшим уравнением эллиптического тина является уравнение Лапласа

где

Здесь есть функция точки -мерного пространства К уравнению (1.1) приводит большое число различных задач математической физики, в частности задача о стационарном распределении температуры в теле (в этом случае

Часто приходится рассматривать более общее уравнение

где заданная функция, а -искомая. Такое уравнение называется уравнением Пуассона. К нему приводят, например, задачи о распределении температуры в теле при наличии источника тепла.

Однако если даже говорить только о язлениях теплопроводности, то указанными уравнениями невозможно охватить многие интересные вопросы. Например, уравнение (1.3) получается в предположении, что рассматриваемое тело однородно по отношению к свойствам теплопроводности, т. е. коэффициент теплопроводности во всех точках тела одинаковый. Если это не так, то приходится рассматривать более общее у равнение

где коэффициент теплопроводности в данной точке х пространства.

Однако и уравнением (1.4) охватывается только тот частный случай, когда тело изотропное, т. е. свойства теплопроводности в различных направлениях одинаковы. В случае, когда это не так, т. е. тело является анизотропным, вместо (1.4) нужно писать более общее уравнение. Кроме того, часто бывает важным учитывать перенос тепла не только за счет теплопроводности, но также и за счет движения вещества, например жидкости или газа. Тогда к уравнению (1.4) следует добавить еще

члены, содержащие первые производные от температуры и с коэффициентами, зависящими от скорости движения.

Все сказанное свидетельствует о том, что если мы хотим охватить более или менее широкий круг вопросов, то мы не можем ограничиваться уравнениями столь частного вида, которые были приведены.

В этой главе мы будем рассматривать уравнения следующего вида:

где

Здесь -заданные функции точки х пространства причем они могут быть заданы не во всем пространстве, а на некотором открытом множестве в котором и будет изучаться это уравнение.

Мы будем предполагать, что имеет место равенство

при всех

Уравнение (1.5) охватывает, как частный случай, все рассмотренные выше уравнения. Такими уравнениями описываются, например, стационарные распределения температуры с учетом неоднородности и анизотропности тела коэффициенты теплопроводности), переносов тепла за счет движения вещества коэффициенты, зависящие от скорости движения), источника тепла (линейно зависящего от температуры в виде

Уравнение (1.6) является линейным.

В этой главе мы рассматриваем только линейные уравнения, т. е. такие, для которых оператор является линейным. Предположение о линейности является ограничением на рассматриваемый круг физических явлений. Например, коэффициенты теплопроводности могут зависеть от температуры. Поэтому предположение линейности значит, что мы ограничиваемся только таким случаем, когда коэффициенты теплопроводности слабо зависят от температуры и этой зависимостью можно пренебречь. Важным для приложений к химической физике является тот случай, когда источник тепла нелинейно зависит от температуры. Этот вопрос подробно рассмотрен в последующих главах.

Однако несмотря на то, что предположение о линейности является ограничением на рассматриваемый круг физических явлений, нужно иметь в виду следующие обстоятельства.

Во-первых, в большом числе случаев линейное приближение является вполне удовлетворительным. Во-вторых, и что весьма важно, никакое сколько-нибудь серьезное изучение нелинейных уравнений невозможно без достаточно хорошо развитой теории линейных уравнений. Более того, как показал накопившийся к настоящему времени опыт, изучение нелинейных уравнений требует исследования весьма тонких вопросов теории линейных уравнений.

Мы будем предполагать уравнение (1.5) эллиптическим в области Это значит, что в любой точке квадратичная форма

является положительно-определенной;

при всех и всех векторах отличных от нуля.

Например, для уравнения (1.4)

Условие эллиптичности для этого уравнения имеет вид что вполне согласуется с физическим смыслом, если под понимать коэффициент теплопроводности. В частности, для уравнения Лапласа

Условие эллиптичности (1.9) не исключает вырождения при приближении точки х к границе области на границе области условие эллиптичности может нарушаться. Эти случаи также важны в приложениях. Например, при изучении движения газа в соплах мы встречаемся с переходом от движения с дозвуковыми скоростями к движению со сверхзвуковыми. Дозвуковые области описываются эллиптическими уравнениями, которые, однако, вырождаются при подходе к границе этой области.

Детальное изучение вырождающихся эллиптических уравнений выходит за рамки этой книги. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем предполагать, что выполнено условие равномерной эллиптичности. Это значит, что существует такая константа что

для всех точек и векторов Например, уравнение (1.4) является равномерно эллиптическим, если

Условие равномерной эллиптичности исключает вырождение.

Некоторые задачи математической физики приводят к необходимости изучать системы дифференциальных уравнений эллиптического типа. Например, такие, как система уравнений теории упругости относительно компонент вектора смещения, содержащая три уравнения с тремя неизвестными функциями, которыми являются компоненты вектора смещения.

Системы уравнений с частными производными могут быть записаны в виде (15), если перейти к матричным обозначениям. Это значит, что являются квадратными матрицами, например, порядка При этом нужно считать, что столбцы из элементов заданный, а искомый Дифференцирование столбца производится путем дифференцирования всех его элементов. Равенство (15) при указанных предположениях является матричной записью системы уравнений с неизвестными

Мы не будем давать определение эллиптичности для системы уравнений, так как это не понадобится в дальнейшем изложении. Однако мы сформулируем условие, являющееся обобщением условия (1 10), из которого следует эллиптичность системы (1 5) Именно, будем теперь под понимать не числа, а столбцы из элементов. Положим

где штрих обозначает транспонирование, есть строка из элементов. Ясно, что (1 11) есть квадратичная форма относительно элементов столбцов Обобщением условия (1.10) на системы уравнений является условие

где заданная константа, длина вектора Предполагается, что неравенство (1.12) имеет место для всех точек и любых столбцов из элементов

Условие (1.12) является более сильным, чем условие эллиптичности. Однако для многих эллиптических систем, встречающихся в математической физике, оно выполняется.