2. Пространство Lp.

Пусть вещественное число, На основании теоремы 2 если . Далее, очевидно, что если ее — вещественное число, то Поэтому есть линейное пространство.

Поставим вопрос о том, можно ли ввести в этом пространстве норму равенством (1.1). Проверим выполнение аксиом нормы. Из теоремы 2 п. 1 следует, что неравенство треугольника выполнено. Кроме того, непосредственно легко проверить равенство где а — вещественное число. Однако свойство нормы, состоящее в том, что из

должно следовать не выполняется. Действительно, из равенства (2.1) мы можем заключить только, что почти всюду на (см. п. 3.3, свойство 8).

Чтобы выполнялось указанное свойство нормы, нам придется прибегнуть к следующему соглашению. Говоря об элементах пространства мы будем отождествлять между собой функции, которые отличаются друг от друга на множестве меры нуль. Точнее это нужно понимать так. Назовем эквивалентными между собой две функции, которые отличаются друг от друга на множестве меры нуль. Будем считать элементами пространства классы эквивалентных между собой суммируемых в степени функций. Действия над такими классами производятся по их представителям. Так, если имеется два класса с представителями то сумма этих классов есть класс с представителем Произведение класса с представителем на число а есть класс с представителем Легко понять, что результат не зависит от выбора представителя класса и что так определенное пространство является линейным пространством. Кроме того, очевидно, что при определении нормы равенством (1.1) мы получаем одинаковую норму для всех эквивалентных между собой функций. Следовательно, норма элемента пространства класса эквивалентности — определяется по любому его представителю.

Можно доказать (см., например, [60]), что так определенное пространство является полным пространством.

Особенно важен для приложений случаи . В предположении,, что мера неотрицательна, в пространстве вводится скалярное произведение равенством

Суммируемость функции следует из теоремы 1 п. 1, аксиомы скалярного произведения — из свойств интеграла Из предыдущего ясно, что есть гильбертово пространство.