6. Ограниченность решений.

Отметим еще одно важное свойство обобщенных решений — свойство ограниченности, которое понадобится в дальнейшем. Будем рассматривать граничную задачу:

где оператор (2.1) с ограниченными коэффициентами Будем предполагать, что коэффициенты заданы на некотором открытом множестве содержащем множество вместе с границей, и имеют там ограниченные вторые производные. Кроме того, будем предполагать, что:

где некоторая константа. При выполнении (6.2) и (2.3.3) задача (6.1) сильно эллиптична без предположения о регулярности границы

Теорема. Пусть при и задача (6.1) разрешима. Тогда любое обобщенное решение ограничено.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай с когда Положим вне области и рассмотрим функцию

где - фундаментальное решение уравнения (в области В силу непрерывна при и ограничена вместе с первыми производными при

Здесь норма в -некоторая константа

Функция есть обобщенное решение задачи вида:

причем согласно (6.4) имеет место оценка

где некоторая константа. Согласно (6 2) можно указать константу такую, чтобы функция удовлетворяла неравенствам (2.2) и (2 3) (для оператора Из теоремы п. 2 следует тогда оценка а значит (см. (6 4)), оценка

с некоторой константой

Для случая теорема доказана.

Отметим, что в случае при условии (62) задача (6.1) однозначно разрешима при любом (первая теорема Фредгольма). Поэтому существует линейный оператор определенный в который каждой функции ставит в соответствие решение задачи

При этом и из условия сильной эллиптичности (см. п. 2.3) и определения обобщенного решения имеем

где положительные константы, II! норма в норма в Отсюда следует, что (6.6) есть ограниченный оператор из следовательно (в силу теоремы вложения ограниченный оператор из

С другой стороны, из (6.5) следует, что (6 6) есть ограниченный оператор из По интерполяционной теореме Рисса (см. например, [27]) (66) есть ограниченный оператор, действующий из где связаны соотношениями:

Для доказательства теоремы в общем случае запишем решение с помощью оператора (6 6) в виде

и заметим, что из следует (Мы считаем так как при утверждение теоремы следует из вложения в пространство непрерывных функций). Поэтому из (6 8), Следовательно (при и вообще при При достаточно большом будем иметь так что Ограниченность следует теперь из представления (6 8) и оценки (6 5) при Теорема доказана

Следствие. Все собственные функции задачи (5.1) ограничены.