2. Мера.

Естественным требованием, налагаемым на функции множества, является их непрерывность в следующем смысле. Пусть задана монотонно возрастающая последовательность множеств Это значит, что каждое следующее множество содержит предыдущее:

Назовем пределом этой последовательности множеств их объединение

и будем писать

Требование непрерывности функции множества о которой идет речь, состоит в том, чтобы выполнялось равенство

Чтобы объяснить, что это требование действительно является естественным, заметим, что уже в элементарной геометрии при вычислении площадей и объемов используется указанное свойство непрерывности. Например, площадь круга рассматривается как предел площадей вписанных правильных многоугольников. Последние образуют возрастающую последовательность множеств, предел (т. е. объединение) которых есть круг (мы имеем в виду внутренние части круга и многоугольников).

Мы будем рассматривать аддитивные функции множества определенные на некоторой алгебре А подмножеств множества Так как нас будут интересовать предельные переходы вида (2.3), то мы будем рассматривать такие алгебры, которые вместе с каждой последовательностью множеств вида (2.1) содержат их объединения (2.2). Такие алгебры множеств называются с-алгебрами. Дадим более общее определение.

Определение 1. -Алгеброй множеств называется алгебра, содержащая вместе с каждой последовательностью множеств их объединение.

Мы не включили в определение требование монотонного возрастания последовательности множеств, но легко видеть, что такое определение было бы эквивалентно данному.

Определение 2. Аддитивная функция множества определенная на с-алгебре А, со значениями в банаховом пространстве В, называется мерой, если для любой монотонно возрастающей последовательности множеств принадлежащих А, имеет место равенство

Таким образом, мера есть аддитивная функция множества, обладающая указанным выше свойством непрерывности. Это свойство непрерывности меры дает возможность вычислять меры путем монотонной аппроксимации множеств более простыми множествами, на которых значение меры известно. Именно это свойство и использовалось в приведенном выше геометрическом примере.

Предельный переход (2.5) можно также делать по монотонно убывающей последовательности множеств, т. е. такой последовательности множеств в которой каждое следующее содержится в предыдущем:

Под пределом такой последовательности множеств понимается пересечение этих множеств

Если убывающая последовательность (2.6) принадлежит -алгебре А, то ее предел X также принадлежит этой алгебре. Это следует легко проверяемого равенства

Покажем, что равенство (2.5) распространяется и на пределы монотонно убывающих последовательностей множеств. Действительно, последовательность является монотонно возрастающей, и поэтому

Наряду с определением 2 полезно бывает также еще и следующее определение.

Определение 2. Функция множества определенная на со значениями в банаховом пространстве В называется мерой, если она счетно-аддитивна, т. е. для любой последовательности попарно не пересекающихся множеств из А имеет место равенство

Докажем эквивалентность этих определений. Пусть последовательность попарно не пересекающихся множеств, т. е. для любых тип,

Обозначим

Если есть мера в смысле определения 2, то в силу равенства имеем

счетно-аддитивна.

Обратно, пусть счетно-аддитивна, возрастающая последовательность множеств Обозначим Тогда множества попарно не пересекаются., имеют место равенства (2.9). Следовательно,

Эквивалентность определений 2 и 2 доказана.

Множества, принадлежащие -алгебре А, на которой определена будем называть измеримыми по мере или -измеримыми.