4. Пространство мер.

Обозначим через множество всех мер ограничепной вариации, заданных на -алгебре А, со значением в баназовом пространстве В. Так как меры являются функциями со значениями в пространстве В, то можно ввести операции сложения и умножепия на числа, как это сделано в п. 1.4.10. Ясно, что сумма двух мер, I также произведение меры на число являются мерами.

Покажем, что полная вариация суммы двух мер не превосходит суммы их полных вариаций:

Действительно, обозначим Пусть — конечная система попарно не пересекающихся подмножеств множества Тогда

Взяв точную верхнюю грань сумм, стоящих в левой части, получим (4.1).

Далее, покажем, что для любого числа а имеет место равенство

Действительно, согласно (3.1)

Из (4.1) и (4.2) мы заключаем, что сложение и умножение на чиста не выводит из множества и поэтому множество всех мер ограниченной вариации образует линейное пространство.

Введем норму в пространстве . Именно, для любой меры положим

Проверим, что это действительно норма. Из (4.1) и (4.2) следует, что

Далее, если то для любого множества имеем як

Таким образом, доказано, что есть нормированное пространство с нормой (4.3).

Заметим, что из (4.1) и (4.2) следует

Действительно, из (4.2) имеем

откуда

Аналогично,

На основании (4.2) правые части в (4.5) и (4.6) совпадают. Отсюда следует (4.4). Из (4.4) получаем

Из неравенства (3.2) также следует

Докажем, что является полным пространством. Действительно, пусть — фундаментальная последовательность в На основании (4.8) имеем

для любого множества Поэтому для любого числа существует такой номер что

при всех и всех Это значит, что последовательность фундаментальна в пространстве В и поэтому сходится

для любого Из (4.10) сразу следует, что есть аддитивная функция. При из (4.9) получаем

при

Покажем, что функция непрерывна, т. е. что для любой монотонно возрастающей последовательности имеем

Действительно, при на основании (4.11) имеем

При фиксированном ввиду непрерывности меры можно выбрать число такое, что

Таким образом, при

Непрерывность функции доказана. Тем самым доказано, что есть мера, определенная на -алгебре А.

Далее, для любой конечной системы попарно не пересекающихся множеств имеем

Поэтому при получаем

Переход к пределу при со дает

Это значит, что мера имеет ограниченную вариацию. Следовательно, имеет ограниченную вариацию, т. е. Далее, из (4.12) получаем

А это значит, что при Полнота пространства доказана.