7. Мера Лебега.

Мера Лебега строится на подмножествах -мерного координатного пространства При она является обобщением понятия длины отрезка, при -площади фигуры, при объема тела.

Для определения меры Лебега понадобится ввести понятие -мерного промежутка. Пусть заданы два -мерных вектора причем Тогда открытый промежутком называется множество точек х, координаты х которых удовлетворяют неравенствам Аналогично определяется замкнутый промежуток и полуоткрытый промежуток

Объемом каждого из промежутков называется число

Определим сначала меру Лебега для ограниченных множеств.

Определение, -мерной мерой Лебега называется функция множества, принимающая на всех промежутках значения, равные их объему, и являющаяся регулярной мерой в каждом шаре.

Легко видеть, что такая функция множества однозначно определена на всех ограниченных множествах. Действительно, пусть шар где натуральное число. Тогда однозначно определяются измеримые подмножества этого шара и значения меры Лебега на них.

Действительно, пользуясь аддитивностью меры, мы можем определить меру «ступенчатых тел», состоящих из конечного числа попарно не пересекающихся промежутков. Затем, пользуясь непрерывностью меры, мы можем определить меру открытых множеств в так как такие множества являются пределами возрастающих последовательностей ступенчатых тел. Как показано в п. 6, регулярная мера полностью определена своими значениями на открытых множествах. Ясно, что если множество принадлежит шару при некотором то его мера Лебега не изменится при возрастании

Меру Лебега множества будем обозначать Будучи регулярной мерой в шаре, мера Лебега определена на всех ограниченных борелевских множествах, и каждое измеримое по мере Лебега ограниченное множество есть объединение борелевского множества и множества меры нуль.

Определение меры Лебега для неограниченного множества дается так же, как и для интеграла Лебега