2. Определение линейного пространства.

В п. 1 приведен пример множества (множество всех двумерных векторов), для элементов которого можно ввести операции сложения и умножения на числа так, что выполняются многие обычные законы алгебры.

Можно привести большое число других примеров множеств, обладающих такими же свойствами: они встретятся в этой и последующих главах. Ввиду большой важности множеств с введенными над их элементами операциями сложения и умножения на числа как в теоретической, так и прикладной математике, эти множества, называемые линейными, или векторными, пространствами, стали самостоятельным объектом изучения. Дадим точное определение.

Определение. Множество называется линейным, или векторным, пространством, если:

а) для любых двух элементов х и у этого множества определена их сумма также являющаяся элементом множества

б) для любого вещественного числа а и любого элемента х множества определено произведение также являющееся элементом этого множества;

в) эти операции сложения и умножения на числа удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):

Здесь х, у и z — элементы пространства вещественные числа.

Элементы линейного (векторного) пространства будем называть векторами.