6. Непрерывность линейных операторов.

Так как понятие оператора является частным случаем общего понятия функции, то определение непрерывности функции, данное в п. 1.4.11, сохраняется для операторов. Повторим его. Оператор А называется непрерывным, если для любого элемента х, принадлежащего области определения оператора А, и для любой последовательности сходящейся к элементу х, имеет место равенство

Следующая теорема указывает связь между ограниченностью и непрерывностью линейных операторов.

Теорема. Для того чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Доказательство. Пусть -линейный оператор, действующий 13 банахова пространства X в банахово пространство У, с областью шределения Предположим, что оператор А ограничен. Тогда для любой последовательности элементов, принадлежащих области шределения оператора и сходящей к элементу имеем

откуда следует (6.1), и, таким образом, оператор А непрерывен.

Обратно, пусть А — непрерывный оператор. Предположим, что он ограничен. Это значит, что для любого натурального числа наймется такой элемент что

Обозначим Ясно, что и поэтому в силу непрерывности А должно иметь место равенство

С другой стороны, из (6.2) получаем

Это противоречиеречие показывает, что предположение о неограниченности неправильно. Теорема доказана.