4. Линейные функционалы в гильбертовом пространстве.

В примере мы показали, что если есть элемент евклидова пространства то

есть линейный функционал в причем имеет место равенство (2.3):

Оказывается, что если явчяется полным пространством, то равенством (4.1) задается общий вид линейных функционалов. Точнее, имеет место следующая теорема

Теорема. Каждый линейный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид (4.1), где элемент пространства однозначно определенный функционалом При этом имеет место равенство (4.2).

Доказательство. Обозначим через множество всех тех элементов х пространства для которых В силу линейности и непрерывности функционала множество образует подпространство в

Если совпадает со всем пространством, то в качестве в равенстве (4.1) можно взять нулевой элемент 0. Если же не совпадает со всем пространством то существует элемент ортогональный к Действительно, пусть Обозначим через проекцию элемента на подпространство Тогда элемент ортогонален к (см. п. 1.5.4).

Покажем, что элементы вида

произвольный элемент из принадлежат подпространству Действительно,

В силу принадлежности элементов (4.3) к пространству имеет место равенство

и, следовательно,

Обозначая получим (4.1).

Покажем, что элемент определен функционалом однозначно. Действительно, если бы наряду с (4.1) имело место также равенство для всех то мы имели бы равенство Так как это равенство справедливо при всех то, полагая получили бы так что Теорема доказана.