Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Оказывается, что если явчяется полным пространством, то равенством (4.1) задается общий вид линейных функционалов. Точнее, имеет место следующая теорема
Теорема. Каждый линейный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид (4.1), где элемент пространства однозначно определенный функционалом При этом имеет место равенство (4.2).
Доказательство. Обозначим через множество всех тех элементов х пространства для которых В силу линейности и непрерывности функционала множество образует подпространство в
Если совпадает со всем пространством, то в качестве в равенстве (4.1) можно взять нулевой элемент 0. Если же не совпадает со всем пространством то существует элемент ортогональный к Действительно, пусть Обозначим через проекцию элемента на подпространство Тогда элемент ортогонален к (см. п. 1.5.4).
Покажем, что элементы вида
произвольный элемент из принадлежат подпространству Действительно,
В силу принадлежности элементов (4.3) к пространству имеет место равенство
и, следовательно,
Обозначая получим (4.1).
Покажем, что элемент определен функционалом однозначно. Действительно, если бы наряду с (4.1) имело место также равенство для всех то мы имели бы равенство Так как это равенство справедливо при всех то, полагая получили бы так что Теорема доказана.