Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Периметр множества.

Пусть ограниченное множество с конечным периметром, - его характеристическая функция. В силу определения п. 1 обобщенные производные являются мерами. Мы введем в рассмотрение обобщенный градиент

Это есть мера со значениями в пространстве Полную вариацию этой меры (см. п. II.1.3) будем обозначать

Определение. Периметром множества называется число

т. е. полная вариация меры всему пространству (Вместо можно было бы взять любое множество, содержащее вместе с границей.)

Поясним смысл введенного определения на простом примере. Пусть открытое множество с гладкой границей Тогда для любой функции имеем на основании (1.1.8)

что можно записать также в виде

Применяя формулу Грина к левой части этого равенства, получим

где внутренняя нормаль к С помощью предельного перехода, учитывая регулярность рассматриваемых мер, нетрудно показать, что из (4.5) следует равенство

где В — произвольное борелевское множество. Взяв полную вариацию левой и правой частей, получим

Отсюда при следует

В правой части, согласно данному выше определению, стоит периметр множества Таким образом,

Мы получили, что периметр открытого множества с гладкой границей есть мера Хаусдорфа границы.

Например, при это площадь поверхности, ограничивающей множество, а при длина кривой.

Мы увидим в дальнейшем, что равенство (4.9) имеет место не только для рассмотренного частного случая множества с гладкой границей.

Оно справедливо для произвольного множества с конечным периметром, однако при этом придется несколько уточнить само понятие границы.

В качестве иллюстрации к понятию мерыух и ее вариации обратим внимание читателя на равенства (4.6) и (4.7). Аналогичные равенства при упомянутом выше обобщении понятия границы верны для произвольных множеств с конечным периметром.

1
Оглавление
email@scask.ru