5. Априорные оценки. Нелокальная разрешимость.

Будем рассматривать линейные формы

связанные с графом Г:

Лемма. Пусть выполнено условие решение задачи (1.2.1), (1.1). Тогда если является решением системы неравенств

то функция

является невозрастающей функцией

Доказательство. Из (5.2), (1.2.1), (5.1) следует

так как ввиду

Очевидно, если вместо удовлетворяет неравенствам противоположного смысла то функция (5.2) будет

неубывающей функцией Если является решением системы уравнений

то

Теорема 1. (Априорная оценка.) Пусть существует неотрицательное решение системы неравенств (5.1):

причем Пусть, далее, решение системы (1.2.1), (1.1). Тогда имеет место оценка

Доказательство следует на основании леммы из неравенства

Замечание. Нахождение оптимальной априорной оценки на отрезке для сводится к решению следующей задачи линейного программирования: найти

в области

Теорема 2 (теорема существования). Если существует положительное решение: системы неравенств (5.1) (или уравнений (5.2)), то решение задачи (1.2.1), (1.1) с произвольными неотрицательными начальными данными существует на полуоси

Доказательство. Умножив положительное решение системы (5.1) на достаточно большую константу, всегда можно получить решение, удовлетворяющее условиям Тогда оценкз (5.4) имеет место при каждом Этого, очевидно, достаточно для существования решения во всей области Теорема доказана.

Интересно отметить, что при наличии положительного решения системы (5.1) существование и оценка решения задачи (1.2.1), (1.1) получается независимо от вида функций удовлетворяющих условию 1.

Существование положительного решения системы уравнений (5.3) в химической кинетике означает наличие материального баланса в соответствующей системе реакций. Это требование обычно выполняется. Вообще любое неотрицательное решение системы (5.3) порождает некоторое соотношение материального баланса вида (см. (5 2)), и любой материальный баланс имеет такой вид. На этом основании уравнения (5.3) будем называть балансными уравнениями, а неравенства (5.1) — балансными неравенствами.