5. Объемные потенциалы.

Интеграл (4.14), который дает решение уравнения Пуассона, называют объемным потенциалом, так как при он является потенциалом сил притяжения массы, сосредоточенной в объеме с плотностью Нас будут интересовать свойства гладкости таких интегралов.

Рассмотрим интеграл несколько более общего вида

где непрерывная по функция при заданная при всех и удовлетворяющая условию

где С — некоторая положительная константа;

Ясно, что такой вид имеет не только интеграл (4.14), но и его первые производные по координатам точки

Теорема. Пусть ограниченное открытое множество, ограниченная измеримая функция, заданная в Тогда интеграл (5.1) является ограниченной и непрерывной функцией точки на множестве

Доказательство. Доопределим функцию считая ее равной нулю вне множества Так как по условию функция ограничена, то существует такая константа что

при всех Пусть диаметр множества т. е. точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками этого множества. Тогда для любой точки в силу (5.2) и (5.4) имеем

Переходя к сферическим координатам с центром в точке получим

Ограниченность интеграла доказана.

Для доказательства его непрерывности рассмотрим сначала интеграл

где натуральное число, непрерывная функция удовлетворяющая условиям:

при всех

Покажем, что равномерно по сходится к Действительно, на основании (5.2) и (5.4)

Но при в силу (5.7) Поэтому

Как и выше, переходя к сферическим координатам, получим

Так как эта оценка не зависит от точки то из нее следует равномерная сходимость при

При каждом есть непрерывная функция точки на множестве Действительно, функция непрерывна по при каждом х и ограничена по Поэтому непрерывность интеграла непосредственно следует из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

Для полного доказательства теоремы остается только заметить, что есть непрерывная функция как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций (см. п. 1.4.11). Теорема доказана.