§ 5. ФУНКЦИЯ ГРИНА

В предыдущем параграфе мы дали определение фундаментального решения уравнения Лапласа. Легко видеть, что фундаментальное решение определяется неоднозначно. Действительно, наряду с построенным выше фундаментальным решением (4.2.6) рассмотрим функцию

где — произвольная функция пары точек х и гладкая и гармоническая по х при каждом Если — гладкая финитная функция, то имеет место равенство

в чем легко убедиться, перебросив дифференцирование с и на у. Отсюда и из равенства (4.2.1) получаем

Таким образом, есть также фундаментальное решение уравнения Лапласа.

Наличие произвольной гармонической функции в качестве слагаемого в дает возможность строить такое фундаментальное решение, которое удовлетворяет однородным граничным условиям рассматривавшихся выше граничных задач. Такое фундаментальное решение называется функцией Грина граничной задачи. Ниже мы дадим точное определение функции Грина, изучим ее свойства и покажем, как каждое решение граничной задачи может быть представлено с помощью функции Грина.

1. Функция Грина.

Прежде чем дать точное определение, мы приведем некоторые наводящие соображения. Рассмотрим задачу А в той классической ее постановке, которая была приведена в п. 1.2. Предположим, что мы хотим построить фундаментальное решение, которое удовлетворяло бы однородным граничным условиям этой задачи:

Здесь и в дальнейшем в этом пункте мы будем считать заданной и фиксированной точкой множества

Ясно, как нужно подбирать функцию входящую в равенство (1), чтобы выполнялись граничные условия (1.1). Для этого нужно решить следующую граничную задачу: найти функцию удовлетворяющую уравнению Лапласа

в области и граничному условию

Мы определим у как обобщенное решение задачи (1.2) - (1.4). В дальнейшем будет показано, что решение является гладкой (и даже неограниченно дифференцируемой) функцией по обеим точкам в области Нарушение гладкости может происходить на границе, что вполне естественно, так как никакие условия гладкости на границу налагаться не будут.

Перейдем к точным определениям. Как и в п. 2.2, мы будем предполагать, что есть ограниченное открытое связное множество с конечным периметром; его существенная граница; ее подмножества, измеримые по -мерной мере Хаусдорфа, причем

Мы будем рассматривать задачу А в той постановке, в какой она сформулирована в п. 2.2, но только применительно к уравнению Лапласа. Поэтому функционал (см. (2.1.3)) имеет вид

Мы сохраним предположение, что задача А является сильноэллиптической (см. п. 2.3).

Мы будем, далее, предполагать, что соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение. Это условие необходимо для

ществования функции Грина, в чем можно будет убедиться, выражая решения через функцию Грина, как это делается ниже.

Для определения функции как решения задачи А в той постановке, в какой она приведена в п. 2.2, требуется указать функционал соответствующий граничному условию (1.4). Этот функционал имеет вид

Теперь мы можем дать определение функции Грина.

Определение. Функцией Грина задачи А называется функция

где - фундаментальное решение (4.2.6) уравнения Лапласа, есть функция, принадлежащая пространству удовлетворяющая граничному условию

и уравнению

при всех где задаются равенствами (1.5) и (1.6).

Естественно возникает вопрос, существует ли такая функция т. е. существует ли решение граничной задачи (1.8), (1.9). Заметим, что формально здесь не выполняются условия, которые требовались при постановке задачи А в п. 2.2. Именно там требовалось, чтобы функция входящая в равенство (2.2.4), принадлежала пространству Соответствующая функция входящая в условие (1.8), не удовлетворяет этому требованию. Однако в действительности это не существенно, так как в постановке граничной задачи участвует только след функции на 5, по точке х, а точка является внутренней точкой множества Поэтому ясно, что функцию можно так изменить в окрестности точки что она станет гладкой, а ее след не изменится.

Существование решения задачи (1.8), (1.9) следует из первой теоремы Фредгольма, так как мы предположили, что соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение. Последнее, в частности, имеет место, если функционал положительно-определенный. Для этого, как показано в п. 2.8, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: и либо либо на множестве положительной -мерной меры.

Для любой финитной в функции равенство (1.9) принимает вид

Следовательно, по определению обобщенного решения эллиптического уравнения (см. п. 2.2) функция является обобщенным решением уравнения Лапласа на множестве Поэтому по теореме 1 п. 4.6 функция непрерывна и неограниченно дифференцируема по координатам точки х.

2. Симметричность.

Теорема. Функция является симметричной, т. е. имеет место равенство

для всех точек

Доказательство. Обозначим

где функция, определенная равенством (4.4.5), — «срезка» функции непрерывна и имеет ограниченные производные.

Пусть некоторая точка множества отличная от Тогда при достаточно большом имеет место равенство

Поэтому может быть взята в качестве функции входящей в равенство (1.9). Это равенство примет вид

Далее, интеграл

существует, так как стоящие под знаком этого интеграла производные суммируемы в квадрате. Интегрирование по частям дает следующее равенство:

При этом мы считаем столь большим, что при Первый из интегралов есть среднее значение функции по сфере (см. равенство (4.3.10)). Так как функция является гармонической в окрестности точки то по теореме о среднем значении (см. п. 4.7) мы получаем из (2.6)

Вычтем отсюда равенство (2.4). Получим

Левая часть этого равенства не изменится, если поменять местами точки Поэтому Теорема доказана.

Следствие. Функция симметрична, непрерывна и неограниченно дифференцируема по каждой из точек

Доказательство. Симметричность функции следует из теоремы и симметричности функции Неограниченная дифференцируемость по точке х доказана в п. 1, по точке следует отсюда и из симметричности.

3. Решение задачи А.

Мы покажем, что если известна функция Грина, то решение задачи А для уравнения Пуассона может быть записано явно в виде интеграла. В некоторых случаях (например, в случае первой краевой задачи для шара) известны аналитические выражения функции Грина (см., например, [29]). В этих случаях решение граничной задачи сводится просто к вычислению интеграла. Однако выражение решения через функцию Грина важно не только в вычислительном аспекте. Его можно существенно использовать для изучения свойств и поведения решений.

Мы ограничимся для простоты случаем, когда рассматривается уравнение Пуассона с однородными граничными условиями. Заметим,

что для неоднородных граничных условий выражение решения с помощью функции Грина в виде интеграла также возможно.

Итак, рассмотрим граничную задачу, которая в классической постановке выглядит следующим образом:

В обобщенной постановке она состоит в нахождении решения и уравнения

для всех Здесь функционал (1.5). В дальнейшем, говоря о решении задачи (3.1), мы будем иметь в виду решение именно в этом смысле. Мы предполагаем выполненными условия, сформулированные в п. 1.

Теорема. Пусть решение задачи (3.1). Тогда в каждой точке в которой выполняется условие

для функции существует шаровое среднее и имеет место равенство

Таким образом, почти всюду в

Для любой функции интеграл (3.5) является решением задачи (3.1).

Доказательство. Для любой точки мы можем в качестве функции входящей в (3.2), взять функцию определенную равенством (2.2), при достаточно большом Получим

Так как то эта функция может быть взята в качестве функции входящей в уравнение (1.9). Тогда будем иметь

где задается равенством (1.6).

Подставляя в функционал функцию вместо и интегрируя по частям, получим

где внешний след функции на сфере

Вычтем (3.7) из (3.8). Тогда из (3.6), учитывая, что получим

Заметим, что при выполнении условия (3.3) имеет место равенство

причем интеграл, стоящий справа, существует. Действительно, так как функция принадлежит пространству то существование интеграла зависит только от функции Учитывая вид (см. 4.2.6)), мы заключаем, что условие (3.3) гарантирует существование интеграла (3.10). При этом нужно заметить, что при никаких условий не нужно, так как в этом случае Ввиду неравенства предельный переход в (3.10) возможен.

В левой части равенства (3.9) стоит среднее значение функции по сфере (см. (4.3.10)). Воспользуемся леммой п. 4.3.

Согласно этой лемме из равенства (3.10) следуют существование шарового среднего и равенство (3.4).

Для полного доказательства теоремы остается только показать, что для любой функции интеграл (3.5) дает решение граничной задачи (3.1). Но на основании условий, сформулированных в п. 1, задача (3.1) имеет решение и, а по доказанному выше это решение имеет вид (3.5). Теорема доказана.

Заметим, что в важных для приложений случаях и трехмерного пространств условие (3.3) выполняется в каждой точке так как в этих случаях функция суммируема в квадрате.