4. Дифференцирование произведения.

Формула дифференцирования произведения двух функций принадлежащих пространству является частным случаем общей формулы (3.2). Ввиду важности этой формулы мы ее рассмотрим отдельно.

В качестве возьмем функцию Для удобства записи введем новые обозначения: так что будет рассматриваться функция Имеем и поэтому по определению усредненной суперпозиции

где обозначает среднее значение функции (см. (5.6.6)).

Точно так же Поэтому в рассматриваемом случае формула (3.2) принимает вид

где средние значения

Согласно общей теореме п. 3 мы можем утверждать, что если функция локально суммируема по мере локально суммируема по мере то и имеет место равенство (4.1).

В случае ограниченных функций требовать указанную выше локальную суммируемость не нужно (см. п. 3), и формулировка утверждения упрощается: если то и имеет место равенство (4.1).

Докажем равенство (4.1) в предположении ограниченности функций и

Пусть непрерывно дифференцируемое ядро усреднения (см. п. 5.6) и

Для люоой финитной непрерывно дифференцируемой функции имеем

Далее,

Найдем

Из (4.2) получаем

Таким образом,

Для обоснования возможности указанного предельного перехода под знаком внешнего интеграла заметим, что согласно теореме 2 п. 5.6 среднее значение функции (т. е. предел внутреннего интеграла) существует почти всюду по -мерной мере, а поэтому и почти всюду по мере (см. п. 3). Кроме того, ввиду ограниченности функций внутренний интеграл есть ограниченная функция переменной

Из (4.5) и (4.6) получаем

Далее, имеем

Следовательно,

Таким образом,

Из (4.3), (4.4), (4.7) и (4.8) получаем

Отсюда в силу определения обобщенной производной следуют и равенство (4.1).