6. Среднее значение.

Мы введем ядро усреднения следующим образом. Пусть -ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая условиям:

Под ядром усреднения понимается функция

Примеры 1. Шаровое ядро усреднения.

Здесь объем единичного -мерного шара:

2 Непрерывно дифференцируемое ядро усреднения

В дальнейшем мы будем рассматривать симметричные ядра усреднения, т. е. такие, для которых функция зависит только от Приведенные выше примеры являются примерами симметричных ядер.

Пусть ограниченная измеримая (по мере Лебега) функция, заданная на некотором открытом множестве Будем рассматривать функцию

Легко показать, что если ядро усреднения является гладким, то и функция также является гладкой.

Средним значением функций в точке мы будем называть число

Конечно, этот предел может и не существовать или, если он существует, то может зависеть от ядра усреднения. Мы покажем сейчас, что если регулярная точка функции то указанный предел существует и не зависит от ядра усреднения.

Теорема 1. Пусть функция, заданная, ограниченная и измеримая в окрестности точки Если есть регулярная точка этой функции, то в этой точке существует среднее значение причен имеет место равенство

где а — определяющий вектор.

Доказательство. Как и в п. 4.4, обозначим через полупространство Рассмотрим интеграл

где

Учитывая, что ядро симметрично, получим

Покажем, что

Для этого обозначим

Так как при то интегрирование в (6.8) можно проводить по множеству где шар: — Мы представим интеграл (6.8) как сумму двух по множествам и дополнение до всего пространства) и обозначим эти интегралы через и 12. В силу (6.11) для первого интеграла имеем оценку

Второе неравенство следует из того, что стоящий здесь интеграл не превосхбдит интеграла, взятого по всему пространству и равного единице.

Оценим интеграл В силу ограниченности функции имеет место неравенство

Кроме того, из (6.1) следует, что

где С — некоторая константа. Следовательно,

Последнее следует из определения аппроксимативного предела Из (6.13) мы заключаем, что существует такое число что

Из неравенств (6.12) и (6.14) получаем при всех Следовательно, имеет место равенство (6.10). Из равенств (6.7), (6.9) и (6.10) следует

Точно так же доказывается равенство

Так как то из (6.15) и (6.16) мы окончательно получаем

Теорема доказана.

Требование ограниченности функции которое содержится в формулировке теоремы, не обязательно [12]. Мы, однако, не будем распространять эту теорему на неограниченные функции и примем (6.6) за определение среднего значения для любой измеримой функции в регулярной точке

Следствие. Пусть две измеримые функции и точка является регулярной для каждой из них, причем хотя бы для одной из них она является точкой аппроксимативной непрерывности. Тогда является регулярной точкой произведения и имеет место равенство

(среднее значение произведения равно произведению средних значений).

Доказательство. Пусть есть точка аппроксимативной непрерывности функции а — определяющий вектор функции (см. п. 4.4). Тогда на основании теоремы об аппроксимативном пределе произведения существует аппроксимативный предел

и имеет место равенство

Точно так же получаем

Взяв полусумму, получим (6.17).

Из теоремы 1 и теоремы п. 5 получаем следующий результат.

Теорема 2. Пусть функция, принадлежащая пространству Тогда множество точек, в которых не существует среднее значение имеет -мерную меру нуль.