3. Измеримые функции.

Определение. Функция называется измеримой, если она является пределом почти всюду сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Пример. Пусть - вещественная неотрицательная функция. Предположим, что множество т. е. множество всех тех точек для которых измеримо для любого числа а. Тогда измеримая функция. Действительно, обозначим

где Очевидно, это измеримые множества, так как они могут быть представлены в виде разностей измеримых множеств. Пусть

Ясно, что на множестве имеет место неравенство

и что являются простыми измеримыми функциями. Из (3.2) следует, что при всех Таким образом, -измеримая функция.

Имеет место также и обратное утверждение: если -измеримая функция, то для любого числа а множество измеримо (см., например, [25]).

Множество всех измеримых функций образует линейное пространство, так как множество простых измеримых функций является линейным пространством.

Из определений, данных в п. 1, легко следует, что всякая почти равномерно сходящаяся последовательность функций сходится почти всюду. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако имеет место следующий весьма важный результат (см. [25]).

Теорема Егорова. Если последовательность измеримых функций сходится почти всюду, то эта сходимость является почти равномерной.

Доказано также, что предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций является измеримой функцией.