4. Проекция вектора на подпространство.

Пусть евклидово пространство, его подпространство. Для любого вектора определим его проекцию на подпространство как элемент пространства наименее удаленный от х. Дадим точное определение.

Элемент подпространства называется проекцией вектора х на это подпространство, если для любого имеет место неравенство

Теорема 1. Проекция вектора х на подпространство единственна, причем вектор ортогонален ко всем векторам подпространства

Доказательство. Докажем сначала, что ортогонален ко реем векторам подпространства Предположим противное. Пусть существует вектор такой, что

Обозначим где а — вещественное число. Ясно, что Покажем, что а можно подобрать так, что

Действительно, имеем на основании (4.2)

Положим Тогда получим

откуда следует (4.3). Но неравенство (4.3) противоречит определению проекции. Это противоречие и доказывает утверждение.

Докажем единственность проекции. Пусть и -две проекции вектора на подпространство Тогда и поэтому по доказанному

Вычитая эти равенства, получим

Таким образом, Теорема доказана.

Возникает вопрос, существует ли проекния вектора на подпространство Мы покажем сейчас, что это действительно так, если полное пространство (см. п. 4.8). Заметим, что при этом мы не требуем, чтобы пространство было полным. Например, если конечномерное подпространство пространства то является полным пространством независимо от полноты Если полное пространство, то любое его подпространство является полным

Теорема 2. Пусть подпространствп пространства являющееся полным пространством. Тогда для любого вектора существует его проекция на подпространство Доказательство. Обозначим

По определению точной нижней грани для любого натурального числа существует вектор такой, что

Следовательно,

Далее, имеем

Отсюда и из (4.6) получаем

Воспользуемся равенством (3.3.4):

справедливым для любых двух векторов и у пространства Положим

Подстановка в (4.8) дает

Переходя здесь к пределу попят и пользуясь равенствами (4.6) и (4.7), получим

Таким образом, является фундаментальной последовательностью в пространстве Ввиду полноты этого пространства она сходится к некоторому элементу этого пространства

Мы можем теперь перейти к пределу под знаком нормы в (4.6) (см. п. 4.3):

Сравнивая это с (4.4), приходим к выводу, что имеет место неравенства для всех Следовательно, о есть проекция вектора на подпространство Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть о есть проекция вектора х на подпространство Тогда имеет место равенство

Доказательство. На основании теоремы Поэтому из равенства получаем откуда следует (4.13).

Следствие 2. Пусть конечномерное подпространство пространства и

— его ортонормированный базис. Тогда для любого вектора его проекция на подпространство имеет вид

где

причем

Доказательство. Из (4.15) получаем (см. п. 3)

На основании теоремы 1

Отсюда и из (4.18) следует (4.16).

Равенство (4.17) непосредственно следует из (4.13).