§ 3. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Многие вопросы математической физики связаны с собственными функциями граничных задач. Мы встретимся, например, с использованием собственных функций при решении параболических уравнений методом Фурье. Кроме того, многие ортогональные системы функций, используемые в анализе, получаются как собственны функции граничных

задач. Их свойства (например, полноту) удобно изучать с этой точки зрения.

1. Собственные значения и собственные функции.

Будем рассматривать граничную задачу, состоящую в нахождении решения в области эллиптического уравнения

удовлетворяющего граничным условиям

Точная формулировка всех ограничений будет дана ниже, а пока будем рассматривать граничную задачу в той же постановке, как и в п. 1.2.

Задача (1.1), (1.2) есть частный случай задачи рассмотренной в п. 1.2. Отличие состоит в том, что в уравнение (1.1) введен параметр Рассматриваемая граничная задача является однородной. Мы видели уже в предыдущем параграфе (см. п. 2.6), что бывают случаи, причем вполне обоснованные с точки зрения физической постановки задачи, когда однородная задача имеет отличные от нуля решения. Те значения для которых задача (1.1), (1.2) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями этой задачи, а ненулевые решения и — собственными функциями, соответствующими этим собственным значениям.

Например, для граничной задачи, рассмотренной в п. 2.6:

число является собственным значением, а функция соответствующей собственной функцией.

Мы будем рассматривать граничную задачу (1.1), (1.2) в обобщенной постановке так, как это было сделано в п. 2.2. Повторим эту постановку специально для того случая, который нас сейчас интересует.

Будем предполагать, что есть ограниченное открытое связное множество с конечным периметром, принадлежащее пространству Через будем обозначать существенную границу этого множества, ее подмножества, измеримые по -мерной мере Хаусдорфа, причем

Далее, мы положим

Будем предполагать, что являются ограниченными и измеримыми функциями в по мере Лебега, ограничена и измерима на по мере Далее, предполагается выполненным условие сильной эллиптичности, сформулированное в п. 2.3:

где некоторые положительные константы, — функционал (2.3.1).

Как было показано в п. 2.3, это условие, в частности, выполняется, если уравнение (1.1) равномерно эллиптическое, а множество регулярное.

Наконец, мы будем предполагать выполненным условие

почти всюду в где некоторая константа.

Мы дадим определение собственной функции и собственного значения для граничной задачи в той обобщенной постановке, которая была принята в предыдущем параграфе (п. 2.2).

Определение. Собственной функцией задачи А, соответствующей собственному значению называется функция принадлежащая пространству не равная нулю и удовлетворяющая равенству

при всех

Заметим, что требование не равно нулю нужно понимать так: функция и не должна быть нулевым элементом пространства Этими последними являются функции равные нулю почти всюду в