§ 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Мы покажем, как используются понятая и формулы этого раздела при математическом выражении физических законов сохранения — законов сохранения массы и энергии.

1. Дифференциальная форма законов сохранения.

Математическое выражение законов сохранения получается сначала в интегральной форме, а затем, пользуясь формулой Грина, их записывают в дифференциальной форме. Переход к дифференциальной форме требует некоторых предположений о гладкости функций, причем тем меньших, чем более широкий класс функций можно охватить с помощью формулы Грина. Формулы, выведенные в § 1, дают возможность рассмотреть произвольные функции, принадлежащие пространству в том числе разрывные.

Начнем с простого, но достаточно характерного примера — уравнения непрерывности, уравнения сохранения вещества в механике сплошной среды (см., например, [26]). Интегральная форма записи этого закона сохранения имеет вид

Здесь плотность вещества, скорость, рассматриваемые как фуикции точек х трехмерного пространства и времени область в трехмерном пространстве; его существенная граница; внешняя нормаль к ней; скалярное произведение векторов двумерная мера Хаусдорфа.

В левой части равенства (1.1) стоит изменение массы вещества, которое произошло с момента времени до момента в правой части — количество вещества, которое проходит через поверхность с момента времени до момента (предполагается, что в области нет источников вещества).

Мы можем к левой и правой частям равенства (1.1) применить формулу Грина. Строго говоря, если функции разрывны, то мы должны были бы писать в равенстве (1.1) внутренние (или внешние) следы этих функций. Однако это не имеет значения, так как существует достаточный набор областей и интервалов таких, что функции аппроксимативно непрерывны на существенных границах множеств почти всюду по трехмерной мере. Мы можем считать, что именно для таких областей записано равенство (1.1). При этом под достаточным набором множеств мы понимаем такую систему множеств, что из равенства нулю регулярной меры на всех этих множествах следует, что она равна нулю на всех борелевских множествах.

Пользуясь формулой Грина, мы получаем из (1.1)

откуда следует

Подчеркнем, что обобщенные производные, входящие в это равенство, являются мерами, и поэтому это равенство следует понимать как равенство мер. Равенство (1.3) называют уравнением непрерывности. Оно является дифференциальной формой указанного выше закона сохранения вещества.

Если обобщенные производные, входящие в равенство (1.3), суммируемы, то это равенство можно понимать также как поточечное. Однако предположение о суммируемости является слишком сильным, так как оно исключает важный случай, когда разрывные функции.

Рассуждения, проведенные выше, носят общий характер. Они могут быть применены и в других случаях и, в частности, для других уравнений гидродинамики, выражающих законы сохранения импульса и энергии. Эти уравнения при указанном подходе будут иметь обычный вид (см., например, [26]), но только в них будут стоять обобщенные производные и равенства следует понимать как равенства мер. Именно, дифференциальная форма закона сохранения импульса имеет вид

где давление,

Дифференциальная форма закона сохранения энергии

где внутренняя энергия,

Формулы дифференцирования функций из выведенные в гл. IV, дают возможность делать преобразование уравнений, оставаясь в классе разрывных функций.

Применяя формулу дифференцирования произведения мы можем заменить равенство (1.4) в виде

Отсюда на основании (1.3) получаются следующие уравнения:

Эти уравнения называют уравнениями движения. Напомним, что обозначают средние значения функций В случае, когда функции непрерывны (или даже аппроксимативно непрерывны почти всюду по трехмерной мере), мы можем в (1.6) вместо подставить и получим уравнение движения в том виде, в каком оно обычно пишется для непрерывных функций.

Обратимся к уравнению (1.5). Раскрывая дифференцирование по формуле дифференцирования произведения, получим

В силу уравнений непрерывности (1.3) и движения (1.6) подчеркнутые суммы равны нулю, и мы приходим к следующему уравнению:

Система уравнений (1.3), (1.6) и (1.7) является полной системой уравнений гидродинамики идеальной жидкости (предполаггется известным уравнение состояния, связывающее и Она записана в классе разрывных функций.

Можно доказать, что в качестве могут быть взяты средние по объему. В уравнениях (1.6) и (1.7) можно перейти также к средним по массе. Именно, имеем

где концентрические шары радиусом с центром в рассматриваемой точке, — масса, — среднее по массе. Аналогично,

Далее, введем удельный объем

Разделив уравнения (1.6) и (17) на получим:

Мы рассмотрели дифференцированные уравнения первого порядка (т. е. содержащие производные не выше первого порядка) Рассмотрим пример дифференциального уравнения второго порядка, также являющегося дифференциальной формой закона сохранения энергии, — стационарное уравнение теплопроводности

где температура; коэффициент теплопроводности, являющийся функцией точек пространства и температуры; -источник тепла.

Мы будем предполагать, что вектор-функция принадлежит пространству и левую часть равенства (1.8) будем трактовать как меру.

В правой части этого равенства стоит мера, физический смысл которой состоит в том, что есть количество тепла, которое выделяется за счет источников тепла, находящихся на множестве Эта мера может быть как абсолютно непрерывной, так и сосредоточенной на множествах трехмерной меры нуль. Первый из указанных случаев физически означает источник, распределенный по всему объему, во втором случае — источник, сосредоточенный на некоторых поверхностях.