6. О гладкости обобщенных решений.

Результаты, изложенные в предыдущих двух пунктах, дают возможность сделать ряд выводов о гладкости обобщенных решений уравнений Лапласа и Пуассона. Мы ограничимся следующими двумя теоремами.

Теорема 1. Если есть обобщенное решение уравнения Лапласа на открытом множестве то является непрерывной и неограниченно дифференцируемой функцией на этом множестве. Эта теорема является непосредственным следствием теоремы п. 4.

Заметим, что говорить о непрерывности функции мы, конечно, не можем, так как, будучи обобщенным решением, она определена с точностью до значений на множестве меры нуль. Так как совпадает с на множестве полной меры, то из теоремы 1 следует, что функция может быть изменена на множестве меры нуль, что она становится непрерывной и неограниченно дифференцируемой. Именно в этом смысле иногда говорят кратко, что обобщенное решение уравнения Лапласа является непрерывной и неограниченно дифференцируемой функцией. Это же замечание относится и к следующей теореме.

Теорема 2. Если есть обобщенное решение уравнения Пуассона (4.1) на открытом множестве есть ограниченная измеримая функция, заданная на этом множестве, то является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией на множестве

Это утверждение является непосредственным следствием теорем пп. 4 и 5.