называется системой дифференциальных уравнений на графе
При этом всюду предполагается, что
непрерывны по
и непрерывно дифференцируемы но и, причем
Можно, очевидно, ребра вида
или
в графе
проводить по одному разу и трактовать числа
или
как кратность или вес соответствующего ребра (весовой граф). Такой подход позволяет отказаться от целочислениости а
рассматривать уравнения вида (2.1) на весовых графах, где весами
могут быть произвольные неотрицательные действительные числа.
В дальнейшем мы всюду считаем
целыми числами и часто рассматриваем функции
вида (1.3), однако многие результаты могут быть обобщены на случай произвольных весовых графов и общих зависимостей
Многие дифференциальные уравнения, встречающиеся в самых различных приложениях (химическая кинетика, химическая технология, биология, марковские процессы и т. д.), можно трактовать как уравнения на графах. Остановимся лишь на некоторых примерах.
Пример 1. Простейшая экзотермическая реакция разложения с учетом материального баланса и зависимости константы скорости от температуры
часто описывается системой уравнений:
Здесь и — концентрация активного вещества; с — теплоемкость;
плотность;
тепловой эффект реакции; а — коэффициент теплоотдачи;
температура окружающей среды
Совершенно очевидно, что относительно функций
эта система уравнений является системой на графе
если вершинам
поставить в соответствие функции
и считать
Этот пример является весьма частным случаем уравнений неизотермической химической кинетики без учета диффузии и в отсутствие распределения температуры по реакционному объему. Такие уравнения и в общем случае можно трактовать как уравнения на графе (весовом). При этом реакциям ставится в соответствие граф так же, как это было указано в п. 1, а весами ребер, приходящих в
-вершину, отвечающую температуре, являются тепловые эффекты реакции.
Такая трактовка возможна и для уравнений, описывающих процессы в химических реакторах идеального перемешивания.
Пример 2. В определенном смысле как уравнения на графах можно трактовать уравнения, описывающие различные процессы с учетом диффузии и молекулярной теплопроводности, т. е. уравнения в частных производных Поясним это на примере одномерного параболического уравнения
рассматриваемого на отрезке
с начальными и граничными условиями
Предполагается, что
азобьем отрезок [0, 1] на
равных частей точками деления
Пусть
Зададим следующий граф: