2. Дифференциальные уравнения на графах.

Основная идея описания схемы реакций с помощью двудольных ориентированных графов состоит в том, чтобы связать свойства решений системы (1.2) с геометрическими свойствами графа. Оказывается, многие важные свойства решений определяются только геометрией графа и не зависят от частного вида функций (1.3). Естественно поэтому рассматривать более общие зависимости, чем (1.3). Это позволяет охватить более широкий круг задач, чем только задачи химической кинетики. Обобщение уравнений химической кинетики приводит к следующему понятию дифференциальных уравнений на графах [13].

Пусть задан конечный ориентированный двудольный граф Г: множества его А- и В-вершин; и -числа ребер вида и соответственно; Каждой вершине поставим в соответствие функции каждой вершине -функцию переменной При этом предполагаются заданными, искомыми.

Определение. Система уравнений

называется системой дифференциальных уравнений на графе При этом всюду предполагается, что непрерывны по и непрерывно дифференцируемы но и, причем

Можно, очевидно, ребра вида или в графе проводить по одному разу и трактовать числа или как кратность или вес соответствующего ребра (весовой граф). Такой подход позволяет отказаться от целочислениости а рассматривать уравнения вида (2.1) на весовых графах, где весами могут быть произвольные неотрицательные действительные числа.

В дальнейшем мы всюду считаем целыми числами и часто рассматриваем функции вида (1.3), однако многие результаты могут быть обобщены на случай произвольных весовых графов и общих зависимостей

Многие дифференциальные уравнения, встречающиеся в самых различных приложениях (химическая кинетика, химическая технология, биология, марковские процессы и т. д.), можно трактовать как уравнения на графах. Остановимся лишь на некоторых примерах.

Пример 1. Простейшая экзотермическая реакция разложения с учетом материального баланса и зависимости константы скорости от температуры часто описывается системой уравнений:

Здесь и — концентрация активного вещества; с — теплоемкость; плотность; тепловой эффект реакции; а — коэффициент теплоотдачи; температура окружающей среды

Совершенно очевидно, что относительно функций

эта система уравнений является системой на графе если вершинам поставить в соответствие функции

и считать

Этот пример является весьма частным случаем уравнений неизотермической химической кинетики без учета диффузии и в отсутствие распределения температуры по реакционному объему. Такие уравнения и в общем случае можно трактовать как уравнения на графе (весовом). При этом реакциям ставится в соответствие граф так же, как это было указано в п. 1, а весами ребер, приходящих в -вершину, отвечающую температуре, являются тепловые эффекты реакции.

Такая трактовка возможна и для уравнений, описывающих процессы в химических реакторах идеального перемешивания.

Пример 2. В определенном смысле как уравнения на графах можно трактовать уравнения, описывающие различные процессы с учетом диффузии и молекулярной теплопроводности, т. е. уравнения в частных производных Поясним это на примере одномерного параболического уравнения

рассматриваемого на отрезке с начальными и граничными условиями

Предполагается, что

азобьем отрезок [0, 1] на равных частей точками деления

Пусть Зададим следующий граф:

В-вершинам отнесем соответственно функции:

Тогда уравнения на графе (2.6), (2.7) при О имеют вид

и задают разностную аппроксимацию (по уравнения (2.3). При этом для -вершин уравнения не пишутся. Предполагается, что согласно (2 4) . В силу условия (2.5) функции (2.8) удовлетворяют условиям (2.2). Решение уравнений (2.9) с начальным условием (см. (2.4)) при достаточно большом дает хорошую аппроксимацию решения краевой задачи (23)-(2.4). В этом смысле уравнение (2 3) есть уравнение на графе.

Аналогично можно рассматривать уравнение с младшими членами, а также многомерные уравнения и системы параболических уравнений (см. [13]).