§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА

1. Анализ уравнения (1.2.4.).

Как отмечалось в п. 1.2, ввиду малости параметров анализ условий самовоспламенения в рамках простейшей модели неизотермического протекания химической реакции (за исключением автокаталитической реакции) сводится к анализу однородной краевой задачи для нелинейного уравнения теплового баланса (1.2.4), которое мы рассмотрим при более общих граничных условиях

Предполагается, что на части границы 5 реакционного объема поддерживается температура окружающей среды условие первого рода, а на остальной части задано условие третьего рода; в частности, одно из множеств или может быть пустым. В начальный момент времени температура постоянна по всему объему и равна температуре окружающей среды. Выражение параметров а также безразмерных переменных и пространственных координат дается формулами (1.1.4) - (1.1.6), (1.2.1).

Здесь мы перечислим основные следствия из результатов предыдущей главы применительно к задаче (1.1). Каждое утверждение сопровождается ссылкой на соответствующее место гл. IX, где содержится доказательство утверждения.

1. Решение задачи (1.1) является возрастающей функцией ограниченной при тогда и только тогда, когда существует положительное решение стационарной задачи:

При этом является наименьшим положительным решением задачи (1.2) (пп IX.1 2-IX.1.3).

Отсутствие положительного решения задачи (1.2) является, таким образом, признаком неограниченного роста решения задачи (1.1), что является математическим выражением воспламенения как невозможности теплового равновесия между реакционным объемом и

окружающей средой. Условие воспламенения может быть найдено в рамках стационарной задачи (1.2) как условие невозможности положительного решения этой задачи.

2. Существует такое, что при есть положительное ограниченное решение задачи (1.2), а при такого решения нет

Условие воспламенения количественно выражается, таким образом, неравенством Определение величины становится важнейшей задачей теории. В общем случае эта величина зависит как от геометрии области, так и от режима теплообмена с окружающей средой, т. е. от способа разбиения границы 5 на части и от величины параметра о. По характеру этой зависимости поведение оказывается очень похожим на поведение первого собственного значения соответствующей краевой задачи для линейного уравнения

3. Всегда имеет место неравенство

Если же рассматривать третью краевую задачу и на всей границе условия то при имеет место асимптотическое равенство

Эти количественные соотношения для относящиеся к произвольным областям при общих граничных условиях, впервые установлены в работах ]. Они играют важную роль при вычислении для областей сложной геометрической формы [58, 63] и дают по существу приближенный способ определения Подробнее на этом мы остановимся в следующем параграфе. Здесь отметим только, что в худшем случае первой краевой задачи для областей простейших форм: плоскопараллельного слоя, бесконечного круглого цилиндра и шара, для которых, согласно расчетам Франк-Каменецкого, равно соответственно

верхняя оценка (2.2) дает значения соответственно.

Анализ первой и третьей краевых задач для этих простейших областей, проведенный в § 2 гл. XI, показывает, что при решение задачи (1.2), как правило, неединственно. Причем структура множества всех решений может быть весьма сложной. Критерием отбора физически содержательного решения задачи (1.2) может служить, оказывается, устойчивость решения в смысле относительно малых возмущений.

4. Устойчивое положительное решение задачи (1.2) при единственно. Таковым оказывается наименьшее положительное решение являющееся непрерывной возрастающей функцией

Математически интересным и сложным оказывается случай является единственным положительным решением задачи (1.2) при Это решение не является устойчивым, однако оно полуустойчиво, точнее, устойчиво относительно односторонних возмущений, уменьшающих Характеристическим свойством решения является то, что первое собственное значение уравнения в вариациях

совпадает с

Строго говоря, в не показано, что является ограниченной функцией. Более того, как отмечалось в возможна неограниченность если задача рассматривается в пространствах размерности 10 и выше. В реальном случае двумерных и трехмерных областей, по-видимому, является ограниченной функцией и, следовательно, имеет смысл такое привычное понятие, как предвзрывной разогрев

6. При решение задачи (1.1) в некоторый конечный момент времени обращается в бесконечность

Таким образом, выясняется еще одна важная особенность задачи -это наличие конечного периода индукции взрыва при Наряду с определением важной задачей теории является определение зависимости при В п. IX.4.2 показано существование , строго говоря, не при а при (см. (1.4)). Ясно, однако, что это связано не с существом дела, а лишь с методом доказательства. Полученная оценка для величины

лишь при дает правильное приближение к

2. Метод осреднения.

Пронормируем первую собственную функцию задачи (1.3) так, чтобы

и определим среднее значение функции в области по формуле

Осредняя таким образом равенство (1.1), с учетом получим (ср.

В силу выпуклости всегда имеем следовательно,

В том случае, когда по сравнению с единицей мала величина мы имеем приближенное равенство

и (2.3) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (знак осреднения опускаем)

Основной результат относительно осредненного уравнения (2.6) состоит в том (п. 1Х.4.1.), что равенство (2.5), а следовательно, уравнение (2.6) являются точными в случае третьей краевой задачи при и одновременном изменении таким образом,

При анализе размерных величин следует иметь в виду выражение через размерные величины. Можно показать, что при

где коэффициент теплопроводности; а — коэффициент теплоотдачи к стенкам; характерный линейный размер реакционного объема; V — его объем; 5 — площадь стенок. Таким образом, одинаково зависят от параметра так не зависит от при а Отсюда вытекает, в частности, что уравнение (2.6) является предельным случаем третьей краевой задачи для уравнения (1.1) при больших значениях коэффициента теплопроводности

Уравнение (2.6) сохраняет, однако, смысл приближенного уравнения, заменяющего краевую задачу (1.1) при общих граничных условиях. При этом ввиду (2.4) всегда легко проследить, в какую сторону делается ошибка. Ослабление источников тепла приводит, в частности, к увеличению критического условия и периода индукции. Как следует из критическим значением х в уравнении (2.6) оказывается что для дает значение и

Сопоставление с (1.4), (1.5) показывает, что как и следовало ожидать, при малых значениях о в случае третьей краевой задачи. При этом можно ожидать, что отклонение от будет невелико и в случае общих краевых условий.

При период индукции из уравнения (2.6) определяется формулой

дающей ввиду (2.4), (2.3) оценку сверху для величины в задаче (1.1) при и асимптотически точное значение при в случае третьей краевой задачи. Относительно параметра функция

оказывается особенно удобной. При расчетах периода индукции в общем случае задачи (1.1) исходят из хорошо оправдавшего себя предположения о том, что при Предполагается, таким образом, что основная зависимость от области и граничных условий учитывается величиной и что близка к универсальной функции (2.9) от В § 3 гл. XI мы подвергаем некоторой проверке это предположение в случае автокаталитической реакции.

Замечание Функцию легко представить, виде ряда по степеням 1/5, плохо сходящегося, однако, при Несколько первых членов этого ряда дают

хорошую асимптотику при

Можно показать, что при с точностью до членов, стремящихся к нулю, имеет место асимптотика

Приближенный расчет константы дает величину Разумная «сшивка» этих асимптотических формул дает простую расчетную формулу для Если ограничиться выписанными членами и обозначить формулы (2 10) и (2 11) соответственно, то естественной «сшивкой» может служить формула

Надо сказать, что применение описанного способа осреднения не ограничивается только задачей вида (1.1). С тем же успехом его можно применить, например, к системе уравнений в допредельной форме см. (1.17)

Осредняя по формуле (2.2) и учитывая правило осреднения суперпозиций (см.

с погрешностью порядка приходим к системе обыкновенных уравнений (знак осреднения опускаем):

При этом асимптотический смысл равенства (2.13) и уравнений (2.14) сохраняется. Уравнения (2.14) описывают предельный случай третьей краевой задачи для уравнений (2.12) при