4. Распространение пламени.

Задачи воспламенения изучают только начальную стадию неизотермического протекания химической реакции, когда выгоранием вещества можно пренебречь. Задача о распространении пламени изучает последующую стадию перемещения в пространстве зоны химической реакции. Вследствие полного выгорания вещества в заданном слое пространства и передачи тепла (теплопроводностью) к соседним иепрореагировавшим слоям химическая реакция охватывает соседние слои. Формируется фронт химической реакции (фронт пламени), который перемещается в пространстве.

Уравнения (1 7) — (1.9), рассматриваемые во всем пространстве (вследствие отсутствия параметра следует считать при подходящих начальных условиях, зависящих только от х, описывают простейшую одномерную модель распространения пламени. Решение зависит только от х и Здесь мы не можем полагать поскольку выгорание вещества является основным в механизме распространения пламени. Предельный переход при не дает существенных упрощений.

Весьма важной является задача о стационарном распространении пламени, которая состоит в отыскании решений типа «бегущей волны», т. е. ограниченных решений вида

где постоянная величина называется скоростью распространения фронта пламени и является важнейшей характеристикой, подлежащей определению. Для нахождения функций рости получаем из (1.7), (1.9) систему обыкновенных дифференциальных уравнений в интервале

Сразу же отметим, что решение этой системы уравнений должно удовлетворять соотношению

где с — некоторая постоянная. Для определения этой постоянной можно использовать имеющийся пока произвол в выборе величины в формулах (1.4).

Пусть выбрано так, что в соотношении (4.4) с Используя концентрацию соотношение (4.4) можно переписать в виде (штрих обозначает дифференцирование по

При выборе граничных условий для уравнений (4.2) — (4.3) естественно исходить из физического предположения о том, что в одном из концов реакция прошла полностью а в другом еще не наступила Достаточно считать

Заменой на и изменением знака другой возможный случай сводится к этому. Оказывается, никаких граничных условий на задавать не нужно. При естественных предположениях из (4.5), (4.6) получаем

Выбранная нами величина оказывается температурой полностью прореагировавшего вещества Если температура исходного непрореагировавшего вещества есть то из условия вида (1.4) величин 6 и у легко следует

Отметим, что - отвечает согласно (1.4) температуре, равной абсолютному нулю, так что решение должно удовлетворять неравенству Сопоставление с (4.7) показывает, что необходимым условием существования решения вида (4.1) является неравенство

которое согласно (1.4) и (4.8) всегда имеет место

Отметим некоторые частные случаи, когда задача сводится к одному уравнению. Одно из уравнений (4.2) — (4.3) может быть заменено соотношением (4.5), которое при представляет собой однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Решение этого уравнения может удовлетворять заданным условиям (см. (4.6) (4.7)) лишь при Итак, в случае имеем

откуда и задача сводится к решению одного уравнения теплопроводности

При выполнении (4.9) говорят о подобии полей концентраций и температур. Такой случай встречается при горении газов (или смеси газов близких молекулярных весов).

В случае (отсутствие диффузии), который встречается при горении конденсированных систем с таковыми же продуктами горения (безгазовые составы), из соотношения (4.5) следует

и снова приходим к одному уравнению

Отметим еще, что в случае автокаталитической реакции уравнение (4.3) при формально дает пример задачи об изотермическом распространении пламени

Во всех случаях (4.10) — (4.12) равенства или показывают, что необходимым условием существования решений должны быть равенства

Эти равенства, строго говоря, не имеют места, и необходимо искусственное изменение соответствующих функций, чтобы (4.13) выполнялось.

Такая необходимость говорит о том, что с помощью стационарной задачи мы имеем лишь приближенное описание процесса, справедливое при некоторых промежуточных временах, когда влияние начального условия уже исчезает, а источники порядка величин или еще не успевают существенно сказаться.

Аналогичное положение характерно, кстати говоря, для всех стационарных задач теории горения. Например, стационарное уравнение, соответствующее задаче (2.4) о тепловом взрыве, описывает невзрывные режимы при промежуточных временах, когда влияние начальных условий уже исчезает, а выгорание вещества еще не успевает сказаться. Такой промежуточный характер асимптотики, доставляемой стационарной задачей, подчеркивался в работах [3, 15].

Начиная с основополагающих работ Колмогорова, Петровского, Пискунова [24] и Зельдовича [20], задаче о распространении пламени было посвящено большое количество исследований математического характера. Отметим, в частности, работу Канеля [22], Баренблатта и Зельдовича [3].

В § 1 гл. XI мы останавливаемся лишь на анализе стационарной задачи (4.10) — (4.12) методами качественной теории обыкновенных уравнений, восходящими по существу к работам [24, 20].