3. Строгая положительность.

Пусть обозначает множество всех -вершин графа, в которых заданные начальные данные (1.1) строго положительны: при так что во всех остальных -вершинах

Теорема 1. Пусть в системе и выполняется условие 1. Пусть, далее, решение задачи (1.2.1), (1.1) на интервале Тогда во всех недостижимых из вершинах

Доказательство. Обозначим через X множество всех недостижимых вершин, через множество номеров всех -вершин из

Пусть Покажем, что

для некоторого если Здесь -непрерывная функция на интервале Действительно, если то подчинена вершине а т. е. при так что (3.1) имеет место при Если то среди -вершин, непосредственно предшествующих имеется хотя бы одна недостижимая. В противном случае была бы достижима следовательно, Но Таким образом, и в этом случае подчинена некоторой вершине т. е. имеет место (3.1).

Рассматривая в (1.2.1) уравнения с номерами в силу (3.1) имеем линейную однородную систему уравнений с нулевыми начальными данными: Доказательство теоремы следует из того, что такая система имеет только нулевое решение.

Для дальнейшего необходимо еще одно условие на функции

Условие при во всея вершинах непосредственно предшествующих вершин

Для уравнений химической кинетики это условие, так же как и условие 1 (см. п. 1), всегда выполнено (см. (1.1.3)). Это условие имеет место также во всех примерах п. 1.2.

Теорема 2. Пусть выполнены условия Пусть, далее, решение задачи (1.2.1), (1.1) на интервале Тогда во всех достижимых из вершинах

Доказательство проведем по индукции. По определению для всех -вершин с индексом имеем Как и при доказательстве теоремы п. 1, для имеет место (1.6), причем на основании этой теоремы (см. (1.5)). Отсюда следует, что для всех -вершин с индексом 0.

Пусть уже доказано, что для всех -вершип с индексом меньшим, чем и. Рассмотрим вершину с индексом k. Для нее существует непосредственно предшествующая -вершина с индексом Пусть это будет Так как все -вершины, непосредственно предшествующие имеют индекс не больший, чем то по предположению индукции соответствующие компоненты и положительны и в силу условия 2. Таким образом, в формуле (1.6) для имеем Поэтому Теорема доказана.