§ 5. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
1. Ортонормированная система векторов.
Пусть 
евклидово пространство. Система (конечная или бесконечная)
векторов поостранства 
называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны:
Если, кроме того, норма каждого вектора (1.1) равна единице
то система (1.1) называется ортонормированной.
Очевидно, если система (1.1) ортогональная и 
то система 
ортонормированная.
Покажем, что каждая ортонормированная последовательность линейно независима. Действительно, пусть (1.1) — ортонормированная последовательность. Тогда, если 
то, умножая скалярно левую и правую части этого равенства на 
получим на основании равенств (1.2) и (1.3)
Таким образом, для любого числа 
(не превосходящего числа членов последовательности (1.1), если она конечна) векторы 
линейно независимы. Это и значит, что последовательность (1.1) линейно независима.
Примеры. 1. В евклидовом пространстве 
векторы 
образуют ортонормированную систему.
2. В пространстве 
со скалярным произведением (3.1 3) последовательность
образует ортогональную систему. Это легко проверяется вычислением соответствующих интегралов.
