Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

1. Ортонормированная система векторов.

Пусть евклидово пространство. Система (конечная или бесконечная)

векторов поостранства называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны:

Если, кроме того, норма каждого вектора (1.1) равна единице

то система (1.1) называется ортонормированной.

Очевидно, если система (1.1) ортогональная и то система ортонормированная.

Покажем, что каждая ортонормированная последовательность линейно независима. Действительно, пусть (1.1) — ортонормированная последовательность. Тогда, если то, умножая скалярно левую и правую части этого равенства на получим на основании равенств (1.2) и (1.3)

Таким образом, для любого числа (не превосходящего числа членов последовательности (1.1), если она конечна) векторы линейно независимы. Это и значит, что последовательность (1.1) линейно независима.

Примеры. 1. В евклидовом пространстве векторы образуют ортонормированную систему.

2. В пространстве со скалярным произведением (3.1 3) последовательность

образует ортогональную систему. Это легко проверяется вычислением соответствующих интегралов.

1
Оглавление
email@scask.ru