4. Действия над векторами.
Правила действия над векторами, которые ниже предлагаются в виде упражнений, должны получаться не из свойств конкретных пространств (например, 
а только из свойств 
операций сложения и умножения на числа, входящих в определение линейного пространства 
В этих упражнениях 
и обозначают векторы из заданного линейного пространства 
вещественные числа.
Упражнения. 1. Доказать, что для любого вектора х и нулевого вектора в справедливо равенство
Решение. На основании свойств 3), 7) и 4) имеем
2. Существует ли для каждого вектора х противоположный вектор у, т. е. такой, что 
Решение. В качестве у можно взять 
Тогда
3. Доказать единственность противоположного вектора.
Решение. Пусть для вектора х существуют два противоположных вектора 
так что 
Требуется доказать, что 
Используя коммутативность и ассоциативность сложения, получим
Вектор, противоположный х, будем обозначать 
Из решения упражнения 2 следует, что
4. Доказать равенства
Решение. Из 6) следует:
5. Доказать, что для любых двух векторов 
существует единственный вектор 
такой, что
Решение Положим 
Тогда 
Докажем единственность. Пусть и 
Тогда 
Вектор 
входящий в равенство (4.1), называется разностью векторов х и у и обозначается
Из решения упражнения следует, что 
6. Доказать равенства 
Решение 
7. Доказать равенство
Решение, 
8 Пусть 
Доказать, что 
Решение, 
.
Если задано 
векторов 
то сумма
определяется как результат последовательного сложения, т. е.
Упражнение. Доказать, что сумма (4.2) не изменяется от перестановки слагаемых
