§ 4. АППРОКСИМАТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Изучение структуры функций, принадлежащих пространству а также некоторые необходимые для дальнейшего понятия (например, понятие следа функции на границе) связаны с аппроксимативным пределом функции. Здесь будут изложены необходимые сведения о нем.

1. Точки плотности.

Пусть множество, принадлежащее пространству и измеримое по мере Лебега. Обозначим через

Определение 1. Точка есть точка плотности множества если

и точка разрежения множества если

Здесь и в дальнейшем обозначает меру Лебега множества

Пример 1. Пусть С — открытое множество, его граница Тогда точки множества С являются его точками плотности, точки дополнения до всего пространства — точками разрежения множества С. Точки границы требуют специального исследования Например, пусть состоит из двух кругов, ограниченных окружностями, соприкасающимися внешним образом в точке Тогда есть точка плотности множества С, остальные точки границы не являются ни точками плотности, ни точками разрежения множества С Если множество С расположено между двумя окружностями, касающимися внутренним образом в точке то точка является точкой разрежения множества

Определение 2. Пусть два измеримых множества и пусть выполняется условие

при всех Тогда если

то называется точкой плотности множества относительно множества если

то называется точкой разрежения множества относительно множества

В первом случае мы будем кратко называть точкой -плотности, а во втором — точкой -разрежения множества

Пример 2 Пусть окружность в плоскости точка (0, —1) Эта точка не является ни точкой плотности, ни точкой разрежения множества Она является точкой -плотности множества если полуплоскость и точкой - разрежения множества если есть полуплоскость .