3. Асимптотическая формула для ...

Рассматривая третью краевую задачу

и соответствующую задачу (1.5)

можно указать важное дополнение к оценке (2.6).

Теорема. Пусть выполнено условие (2.2) и функция в (3.1), (3.2) такова, что

Если критическое значение задачи (3.1), а — первое собственное значение задачи (3.2), то имеет место равенство

Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме, выражающей по существу непрерывную зависимость от при первой собственной функции задачи (3.2), (3.3).

Лемма. Каковы бы ни были константы можно указать такое, что при подходящим образом нормированная функция удовлетворяет неравенствам

емма утверждает, таким образом, что при функция равномерно по х стремится к некоторой константе, являющейся первой собственной функцией второй краевой задачи

С помощью этой леммы легко получить (3.4). Зафиксируем В силу условия есть наибольшее из чисел у, для которых неравенство имеет место при всех 0. Поэтому существует интервал такой, что

Для этих согласно лемме имеет место (3.5) при во. Согласно (3.6) оказывается верхней функцией задачи (3.1) при

С учетом оценки (2.6) имеем

Откуда в силу произвольности следует (3.4). Теорема доказана.

Формула (3.4) показывает, что оценку (2.6) нельзя улучшить и для фиксированной функции в классе всевозможных граничных условий третьего рода.

Относительно доказательства леммы мы заметим следующее. Из неравенства

следует

поскольку Отсюда следует компактность семейства функций при в пространстве случае регулярности границы области Если -предел некоторой последовательности при то в силу (3 7)

Этот предел не зависит от выбора сходящейся последовательности, и поэтому имеет место

В условиях можно показать, что эта сходимость на самом деле имеет место в каждой точке х равномерно по т. е. для любого можно указать что

То

Возьмем настолько малым, чтобы б). Умножив на нормировочный множитель из (3.8) получаем (3 5) при