8. Ортогональные дополнения.

Пусть евклидово пространство. произвольное множество элементов этого пространства.

Определение 1. Ортогональным дополнением множества в пространстве называется множество элементов пространства ортогональных ко всем элементам множества

Таким образом, у есть элемент множества тогда и только тогда, когда

при

Теорема 1. Ортогональное дополнение множества X в пространстве является подпространством в

Доказательство. Пусть так что Но тогда и поэтому Таким образом, У есть линейное пространство.

Остается доказать, что замкнутое множество. Пусть Тогда в силу равенства получаем так что Следовательно, У — замкнутое множество. Теорема доказана.

Определение 2. Евклидово пространство называется ортогональной суммой своих подпространств если:

1) любые два элемента ортогональны:

2) любой элемент представим в виде

Утверждение, что есть ортогональная сумма подпространств будет обозначаться так:

Теорема 2. Если полное евклидово пространство, X — его подпространство, У — ортогональное дополнение то пространство является ортогональной суммой подпространства

Доказательство. Равенство (8.2) имеет место для любых элементов в силу определения ортогонального дополнения. Далее, пусть и — произвольный элемент пространства его проекция на подпространство Тогда на основании теоремы 1 п. 5.4 вектор ортогонален по всем векторам пространства X и поэтому принадлежит пространству У. Таким образом, имеет место равенство (8.3). Теорема доказана.

Следствие. Пусть -мерное евклидов о пространство, X — его -мерное подпространство. Тогда ортогональное дополнение подпространства является -мерным подпространством.

Доказательство. Пусть -ортонормированный базис пространства ортонормированный базис пространства У. Тогда на основании (8.2) и (8.3) векторы

образуют ортонормированный базис пространства Следовательно, что и требовалось доказать.