8. Ортогональные дополнения.
Пусть
евклидово пространство.
произвольное множество элементов этого пространства.
Определение 1. Ортогональным дополнением множества
в пространстве
называется множество
элементов пространства
ортогональных ко всем элементам множества
Таким образом, у есть элемент множества
тогда и только тогда, когда
при
Теорема 1. Ортогональное дополнение
множества X в пространстве
является подпространством в
Доказательство. Пусть
так что
Но тогда
и поэтому
Таким образом, У есть линейное пространство.
Остается доказать, что
замкнутое множество. Пусть
Тогда в силу равенства
получаем
так что
Следовательно, У — замкнутое множество. Теорема доказана.
Определение 2. Евклидово пространство
называется ортогональной суммой своих подпространств
если:
1) любые два элемента
ортогональны:
2) любой элемент
представим в виде
Утверждение, что
есть ортогональная сумма подпространств
будет обозначаться так:
Теорема 2. Если
полное евклидово пространство, X — его подпространство, У — ортогональное дополнение
то пространство
является ортогональной суммой подпространства
Доказательство. Равенство (8.2) имеет место для любых элементов
в силу определения ортогонального дополнения. Далее, пусть и — произвольный элемент пространства
его проекция на подпространство
Тогда на основании теоремы 1 п. 5.4 вектор
ортогонален по всем векторам пространства X и поэтому принадлежит пространству У. Таким образом, имеет место равенство (8.3). Теорема доказана.
Следствие. Пусть
-мерное евклидов о пространство, X — его
-мерное подпространство. Тогда ортогональное дополнение
подпространства
является
-мерным подпространством.
Доказательство. Пусть
-ортонормированный базис пространства
ортонормированный базис пространства У. Тогда на основании (8.2) и (8.3) векторы
образуют ортонормированный базис пространства
Следовательно,
что и требовалось доказать.