§ 3. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Постановка вопроса.

Неединственность решения нелинейной краевой задачи

является скорее правилом, чем исключением. При этом структура множества всех решений часто бывает весьма сложной (см. Поэтому важное значение приобретает выработка критериев отбора физически содержательного решения. Одним из таких критериев часто единственным) является устойчивость решения.

Наш подход к исследованию устойчивости состоит в том, что мы рассматриваем решение задачи (1.1) как стационарное решение параболического уравнения

Понятие устойчивости, которым мы пользуемся, является естественным обобщением понятия асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарной точки обыкновенного дифференциального уравнения.

Определенля. Ограниченное обобщенное решение задачи (1.1) назовем устойчивым, если существуют число и ограниченная измеримая функция при такие, что при любом в интервале определено обобщенное решение задачи (1.2) при начальном условии

и выполняется (почти при всех ) неравенство

Из (1.4) и принципа монотонности следует, что при любом решение уравнения (1.2) с начальным условием экспоненциально приближается к Мы исследуем, таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости решений, хотя для краткости говорим просто об устойчивости.

В этом параграфе, не оговаривая каждый раз особо, мы пользуемся эезультатами § 6 гл. VII для линейных уравнений, для чего, во всяком случае, достаточно, чтобы коэффициенты оператора были определены в области содержащей область вместе с границей, и имели там ограниченные вторые производные. Область считается связной.