7. Интегрирование по частям.
Каждая из формул Грина, выведенных в предыдущих пунктах, приводит к соответствующей формуле интегрирования по частям. Мы остановимся, например, на формуле интегрирования по частям, соответствующей (4.2).
Пусть выполняются условия, при которых справедлива формула (IV.6.4.1) дифференцирования произведения функций и к 
Пусть далее, 
ограниченное множество с конечным периметром, 
его существенная граница Предположим, что внутренний след 
функции 
на 
суммируем по мере 
Тогда, интегрируя равенство (IV.6.4.1) по множеству и пользуясь формулой (4.2), получим
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Иногда может быть интересен вопрос об интегрировании по частям для интеграла
в котором, в отличие от (7.1), не стоит среднее значение функции. В случае, когда обобщенные производные 
являются суммируемыми функциями, левая часть равенства (7.1) совпадает с (7.2), так как 
совпадают на множестве полной 
-мерной меры. В общем случае ответ на поставленный вопрос, естественно, зависит от того, как задана функция 
Ее принадлежности к пространству 
недостаточно, так как функции, принадлежащие этому пространству, определены с точностью до значений на множестве 
-мерной меры нуль! Предположим, что разность 
равна нулю всюду, за исключением некоторого множества В класса 
Тогда, пользуясь теоремой 
легко показать, что
Поэтому формула интегрирования по частям для интеграла (7.2) сводится к формуле (7.1) с добавлением к ее правой части интеграла, стоящего в правой части равенства (7.3).
