3. Базис конечномерного пространства.

Покажем, как полученные результаты могут быть использованы для изучения базиса конечномерного пространства. В частности, докажем утверждение, сформулированное в п. 2.7, являющееся основанием для введения понятия размерности линейного пространства.

Теорема 1. Пусть в линейном пространстве задано векторов

и пусть векторы

являются их линейными комбинациями:

Тогда если то векторы (3.2) линейно зависимы.

Доказательство. Матрица определенная коэффициентами линейных комбинаций (3.3), имеет строк и столбцов. Так как ее ранг то строки линейно зависимы, т. е. существуют не все равные нулю числа такие, что

Отсюда

Теорема доказана.

Теорема 2. В конечномерном линейном пространстве любые два базиса имеют одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть (3.1) и -два базиса конечномерного пространства. Так как векторы (3.2) являются линейными комбинациями векторов (3.1) и линейно независимы, то на основании теоремы Поменяв ролями системы векторов, получим Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 3. Любая система из линейно-независимых векторов -мерного линейного пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть -произвольная линейно-независимая система векторов -мерного пространства произвольный вектор из этого пространства. Векторы являются линейными комбинациями векторов, образующих базис пространства и поэтому на основании теоремы 1 эти векторы линейно зависимы:

где числа не все нулю.

Ясно, что а иначе мел гкторами (3.1) была бы линейная зависимость. Из (3.4) следует х есть линейная комбинация векторов (3.1), и так как произвольный вектор из то (3.1) образует базис в

Упражнения. 1. Доказать, что любаь система из линейно-независимых векторов -мерного линейного пространства при может быть дополнена до базиса этого пространства.

2. Доказать, что определение: размерностью конечномерного пространства называется максимальное число линейно-независимых векторов этого пространства — эквивалентно определению п. 2.7.