6. Подпространства нормированного пространства.

Множество ьазывается подпространством нормированного пространства В, если: 3) является подпространством линейного пространства В (см. п. 2.8); 2) Во является замкнутым множеством в В.

Таким образом, по сравнению с введенным ранее определением подпространства линейного пространства дополнительно требуется замкнутость.

Примеры. 1. В пространстве С функций, заданных и непрерывных на отрезке с нормой (1.1) рассмотрим множество функций равных нулю в точке Ясно, что является подпространством линейного пространства С. Покажем, что является замкнутым множеством в С. Действительно, пусть задана равномерно сходящаяся последовательность функций принадлежащих множеству т. е. равных нулю при Очевидно, предельная функция также обращается в нуль при и поэтому принадлежит множеству Следовательно, на основании теоремы п. есть замкнутое множество. Итак, есть подпространство нормированного пространства С.

2. Рассмотрим множество всех полипомов, заданных на отрезке [0, 1] Ясно, что есть подпространство линейного пространства С. Однако это множество не замкнуто в С. Действительно, функция не принадлежит множеству и является пределом равномерно сходящейся последовательности элементов этого множества (чтобы в этом убедиться, достаточно взять конечные суммы ряда Тейлора для ). Поэтому на основании теоремы п. 5 множество не является замкнутым в С. Таким образом, множество полиномов не образует подпространства нормированного пространства С.