9. Линейная оболочка.

Пусть в линейном пространстве задана онечная система векторов

Линейной оболочкой этой системы векторов называется множество екторов

принимают всевозможные вещественные значения. Линейная оболочка системы векторов (9.1) образует подпространство Действительно, как легко видеть, сумма двух векторов вида (9.2) произведение вектора (9.2) на число являются векторами того же Это подпространство является, очевидно, конечномерным.

Любое подпространство в содержащее векторы (9.1), содержит также векторы (9.2), т. е. линейную оболочку векторов (9.1). В этом шеле линейная оболочка векторрв (9.1) является наименьшим подпространством в содержащим векторы (9.1).

Пример В пространстве с базисом нелинейная оболочка вектора есть множество векторов где а принимает любые вещественные значения. Это одномерное пространство — координатная Линейная оболочка векторов есть множество Это двумерное остранство — координатная плоскость. Линейная оболочка векторов есть южество векторов а Оно совпадает со всем пространством

Ьсли произвольный ненулевой вектор в то его линейная оболочка есть прямая Линейная оболочка любых двух линейно-независимых векторов в есть плоскость, любых трех линейно-независимых векторов — пространство

Дадим определение линейной оболочки бесконечной последовательности векторов:

Линейной оболочкой последовательности векторов (9.3) называет множество векторов

принимает любые натуральные, любые вещественные значения. Так как сумма двух векторов вида (9.4) и произведение

вектора (9.4) на число являются векторами такого же вида, то линейная оболочка последовательности векторов есть подпространство в причем, очевидно, наименьшее в смысле, указанном выше.