Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Свойства сопряженных операторов.

В дальнейшем запись

будем обозначать, что оператор А действует из пространства X в пространство и определен на всем пространстве

Укажем некоторые свойства сопряженных операторов.

1. Пусть А — ограниченный линейный оператор, где гильбертовы пространства. Тогда, как показано в п. 1, сопряженный оператор А есть ограниченный линейный оператор, Следовательно, для него также может быть определен сопряженный Из (1.1) непосредственно следует, что этот оператор с А:

2. Если два линейных ограниченных оператора, действующих из гильбертова пространства X в гильбертово пространство У, а — вещественное число, то

Эти свойства легко следуют из определения сопряженных операторов.

3. Пусть гильбертовы пространства, ограниченные линейные операторы, Тогда определен оператор Покажем, что

Для этого обозначим через скалярные произ-недения в соответственно. Тогда по определению сопряженных операторов имеем для любых элементов

Подставим в качестве у в Получим:

Отсюда

что и доказывает равенство (3.4).

4. Пусть А — ограниченный линейный оператор, где гильбертовы пространства. Предположим, что существует обратный оператор (см. п. 1.7). Тогда

Пользуясь свойством (3.4), отсюда получаем

Это значит, что оператор А имеет обратный, причем

1
Оглавление
email@scask.ru