3. Свойства сопряженных операторов.
В дальнейшем запись
будем обозначать, что оператор А действует из пространства X в пространство 
и определен на всем пространстве 
Укажем некоторые свойства сопряженных операторов.
1. Пусть А — ограниченный линейный оператор, 
где 
гильбертовы пространства. Тогда, как показано в п. 1, сопряженный оператор А есть ограниченный линейный оператор, 
Следовательно, для него также может быть определен сопряженный 
Из (1.1) непосредственно следует, что этот оператор 
с А:
2. Если 
два линейных ограниченных оператора, действующих из гильбертова пространства X в гильбертово пространство У, а 
— вещественное число, то
Эти свойства легко следуют из определения сопряженных операторов.
3. Пусть 
гильбертовы пространства, 
ограниченные линейные операторы, 
Тогда определен оператор 
Покажем, что 
Для этого обозначим через 
скалярные произ-недения в 
соответственно. Тогда по определению сопряженных операторов имеем для любых элементов 
Подставим в качестве у в 
Получим:
Отсюда
что и доказывает равенство (3.4).
4. Пусть А — ограниченный линейный оператор, 
где 
гильбертовы пространства. Предположим, что существует обратный оператор 
(см. п. 1.7). Тогда
Пользуясь свойством (3.4), отсюда получаем
Это значит, что оператор А имеет обратный, причем
