3. Свойства сопряженных операторов.
В дальнейшем запись
будем обозначать, что оператор А действует из пространства X в пространство
и определен на всем пространстве
Укажем некоторые свойства сопряженных операторов.
1. Пусть А — ограниченный линейный оператор,
где
гильбертовы пространства. Тогда, как показано в п. 1, сопряженный оператор А есть ограниченный линейный оператор,
Следовательно, для него также может быть определен сопряженный
Из (1.1) непосредственно следует, что этот оператор
с А:
2. Если
два линейных ограниченных оператора, действующих из гильбертова пространства X в гильбертово пространство У, а
— вещественное число, то
Эти свойства легко следуют из определения сопряженных операторов.
3. Пусть
гильбертовы пространства,
ограниченные линейные операторы,
Тогда определен оператор
Покажем, что
Для этого обозначим через
скалярные произ-недения в
соответственно. Тогда по определению сопряженных операторов имеем для любых элементов
Подставим в качестве у в
Получим:
Отсюда
что и доказывает равенство (3.4).
4. Пусть А — ограниченный линейный оператор,
где
гильбертовы пространства. Предположим, что существует обратный оператор
(см. п. 1.7). Тогда
Пользуясь свойством (3.4), отсюда получаем
Это значит, что оператор А имеет обратный, причем