2. Теорема о разрешимости.

В отличие от линейных уравнений, для которых краевая задача разрешима в области при любом для нелинейного уравнения (1.1) это, вообще говоря, неверно. Например, вторая краевая задача при имеет решение

определенное лишь в областях при

Теоремы существования формулируют обычно при тех или иных ограничениях на поведение функции при возрастании исключающих, как правило, быстрый рост функции Неудобство такого подхода состоит в том, что исключается из рассмотрения ряд важных задач (например, задачи о воспламенении, в которых Однако эти ограничения служат обычно одной цели — получению априорной оценки решения в заданной области Удобнее поэтому вместо ограничений на требовать наличия априорной оценки решения в области Такая оценка (см. имеет место при наличии верхней и нижней функций. Построение верхней и нижней функций представляется наиболее общим способом получения априорной оценки (обычно накладываемые ограничения на позволяют легко строить такие функции). Поэтому в формулировке теоремы существования мы будем требовать наличие верхней и нижней функций.

Как и для линейных уравнений, мы предполагаем граничные условия (1.2) однородными т. е. рассматриваем задачу Помимо условия сильной эллиптичности (см. 2.12)), для простоты потребуем, чтобы при выполнялось условие

Это условие позволяет воспользоваться оценкой (1.4.7) для решения линейной краевой задачи.

Теорема. Пусть ограничены и выполнены условия (2.1.2), (2.1) и (1.4). Пусть далее ограничена (см. (1.2), (1.3)) и в области существуют верхняя и нижняя функции (см. определение 2. п. 1) задачи Тогда задача имеет ограниченное решение в области почти всюду удовлетворяющее неравенствам

Доказательство. Выберем число таким, чтобы выполняюсь

и пусть константа из неравенства (1.4). Положим

и в цилиндре будем рассматривать ограниченные функции удовлетворяющие почти всюду в неравенству Множество таких функций обозначим через Это шар радиуса А в линейном пространстве ограниченных функций, в котором норма определяется как существенная верхняя грань

Здесь нижняя грань берется по всевозможным множествам имеющим меру нуль. Расстояние между элементами и есть, следовательно, Всюду в этом пункте обозначает норму (2.5). Для согласно (1.4):

Положим и каждой функции поставим в соответствие решение задачи т. е. обобщенное решение следующей линейной задачи в области

Согласно п. 2.2 эта задача имеет единственное решение при каждом Тем самым определен оператор:

Так как а согласно (1.12) и (2.3), при согласно (2.6), то по теореме об ограниченности (следствие 3, п. 1.4) для решения (2.8) задачи (2.7) справедлива оценка

Таким образом, оператор отображает шар в себя. Так как, далее, для любых двух функций

при то согласно (2.6)

Для разности соответствующих решений задачи (2.7) в силу по той же теореме об ограниченности п. 1.4 с учетом (2.4) имеем оценку

Таким образом, оператор (2.8) осуществляет сжатое отображение в себя и имеет, следовательно, неподвижную точку являющуюся по определению ограниченным обобщенным решением задачи (2.7) при или, что то же, задачи Согласно лемме 2 п. являются верхней и нижней функциями этой задачи в области следовательно, удовлетворяет неравенствам (2.2) почти всюду в Если

то теорема доказана. При доказана разрешимость задачи в любом цилиндре при поскольку величина зависит только от характеристики а функций , и произвольно выбранного числа и не зависит от начального момента Учитывая это замечание и покрывая цилиндр конечным числом цилиндров

с помощью лемм 1 и 2 п. 1 решение задачи можно последовательно продолжить на всю область сохраняя оценку (2.2). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть ограничена. Тогда задача всегда разрешима в некотором цилиндре

Доказательство. Согласно при

Можно, очевидно, считать, что -непрерывная функция и, удовлетворяющая условию Липшица в каждом интервале Тогда в некотором интервале существует и ограничено решение обыкновенного уравнения

Покажем, что являются верхней и нижней функциями задачи в области Условия (1.12), (1.13) очевидно, выполняются. При с учетом условия (2.1)

Поэтому выполняется условие (1.14).

По теореме в области существует решение задачи

Следствие 2. Пусть ограничена и при всех выполняется оценка

где некоторые постоянные. Тогда решение задачи определено в любой области и

Доказательство. Решение уравнения (2.9) при (см. определено при и имеет вид

Согласно предыдущему, образуют верхнюю и нижнюю функции задачи которая, следовательно, разрешима в любой области и решение удовлетворяет неравенству (2.11).

К граничным задачам для квазилинейных параболических уравнений мы вернемся еще в гл. IX, где будут приведены некоторые данные об области разрешимости, поведении при возрастании и др.