§ 9. РАНГ МАТРИЦЫ

1. Ранг матрицы.

Пусть задана прямоугольная матрица (7.1.1) размера Выделим произвольные строк и столбцов этой матрицы. На их пересечении получится квадратная матрица. Определитель ее называется минором порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Таким образом, если ранг матрицы равен то в этой матрице существует минор порядка (его будем называть ранговым), отличный от нуля, а все миноры порядков, больших (если они существуют), равны нулю.

2. Линейная зависимость строк и столбцов.

Лемма. Если ранг матрицы на единицу меньше числа ее строк, то строки этой матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть ранг матрицы (7.1.1) равен Рассмотрим столбцов, проходящих через ранговый минор. Матрицу (очевидно, порядка составленную из этих столбцов, обозначим через Рассмотрим, далее, матрицу полученную дописыванием к в качестве последнего столбца произвольного столбца матрицы Ясно, что Действительно, если совпадает с одним из столбцов матрицы то это следует из свойств определителя. Если не совпадает со столбцом матрицы то (с точностью до порядка столбцов) есть минор порядка матрицы

Разложим по элементам последнего столбца. Получим

Здесь числа не зависят от так как они вычисляются с помощью миноров матрицы , и хотя бы одно из них отлично от нуля, поскольку среди этих миноров есть ранговый. Из равенства (2.1) следует, что строки матрицы А линейно зависимы. Лемма доказана.

Теорема 1. Максимальное число линейно-независимых строк матрицы равно ее рангу.

Доказательство. Пусть максимальное число линейно-независимых строк матрицы (7.1.1), а - ранг этой матрицы. Будем называть ранговыми строки матрицы А, пересечение которых с соответствующими столбцами образует ранговый минор. Ясно, что ранговые строки линейно независимы, иначе были бы линейно зависимы строки рангового минора. Поэтому Пусть Рассмотрим матрицу А, составленную из линейно-независимых строк матрицы А. Очевидно, ранг этой матрицы не превосходит Далее, взяв строку матрицы А, из которых являются ранговыми для этой матрицы, получим в силу леммы, что эти строки линейно зависимы. Но это противоречит линейной независимости строк матрицы А. Таким образом, предположение, что привело к противоречию. Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 2. Маскимальное число линейно-независимых столбцов матрицы равно ее рангу.

Доказательство. Так как при транспонировании ранг матрицы не изменяется (предлагаем это самостоятельно доказать читателю), то эта теорема является следствием предыдущей.

Следствие 1. Максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы равно максимальному числу ее линейно-независимых строк.

Следствие 2. Определитель матрицы тогда и только тогда равен нулю, когда между его строками (столбцами) есть линейная зависимость.

Доказательство. Если строки или столбцы линейно зависимы, то определитель равен нулю (см. п. 8.3). Если определитель равен нулю, то ранг матрицы меньше ее порядка и между строками (столбцами) есть линейная зависимость.