2. Тепловое самовоспламенение.

Предполагается, что химическая реакция происходит в некотором объеме на стенках которого поддерживается температура окружающей или более общий

режим теплообмена с окружающей средой (условие третьего рода). Положив граничные условия на стенках в безразмерных величинах можно записать в виде

где обозначает производную по направлению внешней нормали к линейный размер объема а — коэффициент теплоотдачи к стенкам. Возникает дополнительный безразмерный параметр а. Формально условие можно трактовать как частный случай второго из условий (2.1) при Если вместе с (1.7) рассматривается уравнение (1.9), то ставится дополнительное граничное условие непроницаемости стенок для вещества

Чаще всего считают, что в начальный момент времени температура реагирующего вещества совпадает с температурой окружающей среды т. е. присоединяются начальные условия

Ставится вопрос об условиях теплового взрыва (невозможности теплового равновесия между реакционным объемом и окружающей средой) в такой системе. Параметры естественно, предполагаются малыми. Это позволяет ограничиться исследованием предельного случая уравнений (1.7) — (1.9) при В силу заданных условий на мы получаем и из уравнений (1.7) — (1.9) остается лишь одно уравнение теплового баланса, которое при имеет вид

Ввиду непрерывной зависимости от параметров решение исходной системы (1.7), (1.8) или (1.7), (1.9) на любом конечном интервале времени из области определения решения задачи (2.4) оказывается близким к решению уравнения (2.4) и Это согласуется с тем наблюдаемым фактом, что во многих случаях тепловой взрыв, если он возможен, происходит уже при малых глубинах превращения. Исключение составляет автокаталитическая реакция когда такой предельный переход дает физически неправильный результат. В самом деле, мы получаем и автокаталитический характер реакции (возрастание в интервале при этом совершенно не учитывается. Это тот случай, который отмечался в для обыкновенных уравнений, когда формальный предельный переход при не дает приближенного решения. Сказанное не означает, конечно, что нельзя воспользоваться малостью у. Просто в данном случае неудачным оказывается выбранный масштаб времени, связанный с чисто тепловым механизмом, в то время как ведущим оказывается изотермическое самоускорение реакции. В данном случае безразмерное время следует ввести по формуле

и искать приближенное решение при получающейся системы уравнений с малым параметром при производной.

Случай автокаталитической реакции анализируется в § 3 гл. XI. Ближайший параграф посвящается анализу уравнения (2.4) при более общих граничных условиях. Забегая вперед, отметим, что условие самовоспламенения в задаче (2.4) определяется из соответствующего стационарного уравнения и имеет вид выше которого стационарная задача перестает быть разрешимой. Определение величины

в зависимости от области и граничных условий является важнейшей задачей теории.

Первые результаты по определению относятся к областям простейших форм: плоскопараллельная полоса бесконечный круглый цилиндр и шар когда стационарная задача имеет вид -

и принадлежат Франк-Каменецкому [53] в случае первой краевой задачи Барзыкину и Мержанову [5, 35] в общем случае. Прекрасное изложение первой краевой задачи (2.6) содержится также в статье Гельфанда [15] (в разделе, написанном Баренблаттом). Здесь ставится ряд математических вопросов в связи с задачей (2.4), ответы на которые были получены одним из авторов [55, 56] и содержатся в предыдущей главе настоящей книги. Другие вопросы, касающиеся задачи (2.4), в частности вопросы оценок и приближенного расчета для сложных областей, читатель найдет в последующих параграфах. В § 2 гл. XI мы вновь возвращаемся к сферически-симметричной задаче (2.6) и исследуем ее при произвольном значении Это исследование дополняет известные результаты относительно задачи (2.6) и дает интересные примеры, иллюстрирующие некоторые общие положения теории квазилинейных уравнений.