3. Алгебра множеств с конечным периметром.

Теорема. Пусть ограниченное множество с конечным периметром. Тогда множество А всех его подмножеств, имеющих конечный периметр, образует алгебру.

Доказательство. В силу определения алгебры множеств нам надлежит доказать, что если то и если то

Пусть Обозначим через характеристические функции множеств Тогда есть характеристическая функция множества Так как обобщенные производные функций являются мерами, то этим же свойством обладает и функция Следовательно,

Пусть Тогда согласно теореме п. 2 множества имеют ограниченную вариацию. Пусть Покажем, что множество также имеет ограниченную вариацию.

Пусть а — вектор, направленный по одной из координатных осей в и обозначают то же, что и в п. 2. Тогда при почти всех

множества имеют ограниченную вариацию Ясно, что множество также имеет ограниченную вариацию причем

Отсюда и из (2.2) получаем

Следовательно, множество имеет ограниченную вариацию и поэтому Теорема доказана.