Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема. Пусть ограниченное множество с конечным периметром. Тогда множество А всех его подмножеств, имеющих конечный периметр, образует алгебру.
Доказательство. В силу определения алгебры множеств нам надлежит доказать, что если то и если то
Пусть Обозначим через характеристические функции множеств Тогда есть характеристическая функция множества Так как обобщенные производные функций являются мерами, то этим же свойством обладает и функция Следовательно,
Пусть Тогда согласно теореме п. 2 множества имеют ограниченную вариацию. Пусть Покажем, что множество также имеет ограниченную вариацию.
Пусть а — вектор, направленный по одной из координатных осей в и обозначают то же, что и в п. 2. Тогда при почти всех
множества имеют ограниченную вариацию Ясно, что множество также имеет ограниченную вариацию причем
Отсюда и из (2.2) получаем
Следовательно, множество имеет ограниченную вариацию и поэтому Теорема доказана.
ограниченное множество с конечным периметром. Тогда множество А всех его подмножеств, имеющих конечный периметр, образует алгебру.
нам надлежит доказать, что если 
то 
и если 
то 
Обозначим через 
характеристические функции множеств 
Тогда 
есть характеристическая функция множества 
Так как обобщенные производные функций 
являются мерами, то этим же свойством обладает и функция 
Следовательно, 
Тогда согласно теореме п. 2 множества 
имеют ограниченную вариацию. Пусть 
Покажем, что множество 
также имеет ограниченную вариацию.
и 
обозначают то же, что и в п. 2. Тогда при почти всех
множества 
имеют ограниченную вариацию 
Ясно, что множество 
также имеет ограниченную вариацию 
причем
имеет ограниченную вариацию и поэтому 
Теорема доказана.
