Теорема. Пусть ограниченное множество с конечным периметром. Тогда множество А всех его подмножеств, имеющих конечный периметр, образует алгебру.
Доказательство. В силу определения алгебры множеств нам надлежит доказать, что если то и если то
Пусть Обозначим через характеристические функции множеств Тогда есть характеристическая функция множества Так как обобщенные производные функций являются мерами, то этим же свойством обладает и функция Следовательно,
Пусть Тогда согласно теореме п. 2 множества имеют ограниченную вариацию. Пусть Покажем, что множество также имеет ограниченную вариацию.
Пусть а — вектор, направленный по одной из координатных осей в и обозначают то же, что и в п. 2. Тогда при почти всех
множества имеют ограниченную вариацию Ясно, что множество также имеет ограниченную вариацию причем
Отсюда и из (2.2) получаем
Следовательно, множество имеет ограниченную вариацию и поэтому Теорема доказана.