§ 4. О ПОКАЗАТЕЛЯХ ЛЯПУНОВА

1. Постановка вопроса.

Строгим показателем Ляпунова функции определенной при называется величина

когда этот предел, конечный или бесконечный, существует.

Величина определяет порядок экспоненциального роста и убывания функции при и обладает следующими простыми свойствами:

При исследовании поведения при решения системы уравнений на графе естественно возникает вопрос, как связаны показатели Ляпунова функций со структурой графа. В п. 2.4 мы видели, что аналогичный вопрос о поведении решения при решается в терминах индексов вершин графа. Относительно системы уравнений на графе

(ср. (1.2.1)) ниже мы предполагаем следующее:

1. Функции заданы формулами (1.1.3).

2. Решение задачи (1.4) строго положительно при

3. Существуют и известны величины

4. Существуют конечные или бесконечные пределы отношений

Согласно п. 2.3 предположение 2 означает, что все -вершины графа достижимы из начальных вершин Перепишем систему (1.4) в виде (ср. (2.1.3) — (2.1.5))

где

заметим, что равенство нулю при в выражении (1.6) возможно лишь в том случае, когда при всех когда при всех Согласно формулам (1.1.3)

и в силу предположений 3.4 нам известны предельные значения

которые позволяют найти из (1.5)

Здесь величина произвольна. В дальнейшем удобно оперировать величиной

которую мы также будем называть показателем Ляпунова. Ввиду ограниченности и положительности имеем так что и в силу (1.10)

Имеет место следующая теорема.

Теорема.

Доказательство. В силу (1.12) и, следовательно, возможны два случая:

1. Тогда (см. и из выражения (3.9) для с непосредственно вытекает Так что имеет место (1.13).

2. В этом случае и из (1.9) следует так что снова имеет место (1.13). Теорема доказана.

Очевидно, если Это обстоятельство облегчает нахождение величин Можно ограничиться исследованием лишь части уравнений (1.4) или (1.5) относительно тех для которых Может, конечно, случиться, что при всех как это может иметь место в случае обратимых реакций Тогда задача тривиальна: при всех

Уравнения для если остальные функции считать известными, можно трактовать в смысле п. 1.2 как уравнения на некотором графе который получается из исходного графа в результате следующей процедуры:

1) отбрасываются все -вершины, отвечающие ненулевым значениям

2) отбрасываются все ребра, приходящие и отходящие от этих А-вершин;

3) отбрасываются все -вершины, оставшиеся без приходящих ребер.

Метод определения показателей существенно зависит от структуры графа

2. Случай ациклического графа ...

В этом случае легко указать-алгоритм, позволяющий с помощью формулы (1.13) найти все показатели Пусть множество начальных вершин Гц -вершины, не имеющие предшествующих). Индексация вершин в смысле п. 2.2

относительно каждой вершине ставит в соответствие конечный индекс, равный нулю для вершин из Для этих вершин в соответствующих уравнениях (1.5), следовательно, и согласно Далее рассуждаем по индукции. Пусть уже известны показатели для всех вершин с индексом, меньшим Тогда для вершины с индексом рассмотрим все непосредственно предшествующие вершины Индекс этих вершин меньше, чем и функция выражается через функции с уже известными показателями По формулам (1.2), (1.3) легко находится и по формуле

Таким образом, имеем алгоритм вычисления показателей, использующий ациклическую структуру графа

Пример. Пусть исходный граф задан схемой

Здесь, очевидно, существует цикл Однако соответствующий граф оказывается ациклическим. В самом деле, из уравнений

следует монотонность Из балансных соотношений

(предполагается вытекает существование пределов при Из ограниченности интегралов от (см. последнее уравнение вытекает так что

Таким образом, граф получается из (2.1) отбрасыванием вершин вместе с приходящими и уходящими ребрами:

и является ациклическим. Для определения показателей можно пользоваться описанным правилом. В начальной вершине из второго уравнения (2.2) имеем так что

далее, из третьего уравнения (2.2) с учетом имеем и согласно (1.13)

Описанный алгоритм относится, конечно, и к тому случаю, когда исходный граф ацикличен. В этом случае нет необходимости заранее выделять вершины с ненулевыми

3. Линейные циклы.

Дополнительное исследование требуется в том случае, когда граф содержит циклы. При этом приходится различать линейные и нелинейные циклы.

В-вершина из называется линейной, если к ней приходит только одно ребро, и нелинейной, если приходящих ребер больше одного.

Цикл называется линейным, если он проходит только через линейные -вершины, и нелинейным — в противном случае. В этом нкте рассматриваются линейные циклы. Пример.

Здесь граф содержит, очевидно, цикл

Из соответствующей системы уравнений

и соотношений материального баланса

легко следует существование предельных значений при В самом деле, для это вытекает из их монотонности и ограниченности, для из соотношений баланса (3.4). Из последних двух уравнений (3.3) следует конечность интегралов от по области Следовательно, и для предельных значений имеем

т. е. только подлежат определению.

Соответствующий граф получается выбрасыванием вершин и принадлежащих им ребер:

и состоит из линейного цикла (3.2) и одного ребра

Показатели определяются циклической структурой этого графа. Из второго и третьего уравнений (3.3) на основании формулы (1.12) имеем

из следует, что пределы отношений конечны и в силу тождества

юго положительны:

з означает, что имеют один и тот же порядок малости при т. е.

юмощью (3.6), (3.7) соотношения (3.5) записываются в виде

откуда следует, что к является собственным значением матрицы в левой части (3.8). Тот факт, что ему отвечает положительный собственный вектор однозначно определяет, какое именно собственное чение этой матрицы является искомым показателем Ляпунова. Из теории неотрицательных матриц [14] легко следует, что таковым является наименьшее собственное значение k.

Эти рассуждения легко обобщаются, и соответствующий результат является справедливым для любого линейного цикла в Если в системе уравнений (1.4) оставить только уравнения, отвечающие -вершинам линейного цикла, и остальные функции заменить их предельными значениями то всегда получается линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами. Всем -вершинам линейного цикла отвечает один и тот же показатель Ляпунова яющийся наименьшим действительным собственным значением матрицы этой системы уравнений, взятой с обратным знаком.

4. Нелинейные циклы.

Пусть теперь граф содержит нелинейный Это значит, что некоторая -вершина в цикле содержит более ого приходящего ребра. Пример.

граф содержит цикл

существование предельных значений для решения системы

следует в данном случае из равенства (3.2.2), вытекающего из существования положительного решения строгих балансных неравенств 5). Такое решение в нашем случае образуют числа (2, 3, 2, 1, 1).

Очевидно, далее, монотонны и Кроме того, из ограниченности интегралов от последнее и первое уравнения имеем Соответствующий граф определяется схемой

Этот граф содержит цикл (4.2) и, кроме того, вершины вместе с ребрами Цикл (4.2) оказывается нелинейным, так как вместе с ребром в вершину приходит ребро В вершине не входящей в цикл, из третьего уравнения (4.3) непосредственно следует Из первых двух уравнений согласно (1.12) имеем:

Ввиду пределы отношений конечны. При этом либо либо В самом деле, если — то ввиду если то, очевидно, Это соображение является основным при анализе нелинейного цикла и в общем случае. Происходит как бы разрыв цикла. Если, скажем, то вычисляются точно так же, как если бы в цикле (4.2) было выброшено ребро т. е. вдоль ациклического пути. В самом деле, из (4.4) имеем и из второго уравнения (4.3) по формуле (1.13) с учетом

Равенство соответствует циклу (4.2) без ребра В этом случае из (4.5) имеем и из первого уравнения (4.3) на основании (1.13)

Мы не можем однозначно утверждать, какое из равенств имеет место. Поэтому для показателей Ляпунова получаем два возможных набора:

Эи наборы совпадают в случае При или они отличаются и встает задача отбора реальных показателей, которая в данном случае легко решается. В области формула (4.6) дает и нужное для (4.6) условие не имеет места. Так что при показатели имеют вид (4.7), т. е.

при из (4.7) имеем и не выполняется нужное условие В этом случае показатели вычисляются

видно, из двух наборов (4.6), (4.7) реализуется тот, который дает аименьшие значения.

Следует сказать, что в общем случае граф не может содержать ичего другого, кроме ациклических путей, линейных и нелинейных иклов. Поэтому описанные здесь правила вычисления показателей япунова охватывают самый общий случай.